Як знайти синус, косинус і тангенс

Як знайти синус, косинус і тангенс


Синус, косинус і тангенс є тригонометричними функціями. Історично вони виникли як співвідношення між сторонами прямокутного трикутника, тому найзручніше і обчислювати їх через прямокутний трикутник. Однак через нього можна висловити тільки тригонометричні функції гострих кутів. Для тупих кутів доведеться вводити окружність.

Вам знадобиться

  • коло, прямокутний трикутник

Інструкція

1. Нехай у прямокутному трикутнику кут B - прямий. AC буде гіпотенузою цього трикутника, сторони AB і BC - його катетами. Синусом гострого кута BAC буде називатися відношення протилежного до цього кута катета BC до гіпотенузи AC. Тобто sin (BAC) = BC/AC.Косинусом гострого кута BAC буде називатися відношення належного до цього кута катета BC до гіпотенузи AC. Тобто cos (BAC) = AB/AC. Косінус кута можна також висловити через синус кута за допомогою основного тригонометричного тотожності: ((sin(ABC))^2)+((cos(ABC))^2) = 1. Тоді cos (ABC) = sqrt (1- (sin (ABC)) 2) .Тангенсом гострого кута BAC буде називатися відношення протилежного до цього кута катета BC до прилеглого до цього кута катету AB. Тобто tg (BAC) = BC/AB. Тангенс кута також можна висловити через його синус і косинус за формулою: tg(BAC) = sin(BAC)/cos(BAC).

2. У прямокутних трикутниках можна розглядати лише гострі кути. Для розгляду прямих кутів необхідно вводити окружність. Нехай O - центр декартової системи координат з осями X (вісь абцис) і Y (вісь ординат), а також центр кола радіуса R. Відрізок OB буде радіусом цього кола. Кути можна виміряти як повороти від позитивного напрямку осі абсцис до променя OB. Напрямок проти годинникової стрілки вважається позитивним, за годинниковою стрілкою негативним. Абсцис точки В позначте за xB, ординату - за yB.Тогда синус кута визначається як yB/R, косинус кута - xB/R, тангенс кута tg (x) = sin (x )/cos (x) = yB/xB.

3. Косінус кута можна розрахувати і в будь-якому трикутнику, якщо відомі довжини всіх його сторін. За теоремою косинусів AB ^ 2 = ((AC) ^ 2) + ((BC) ^ 2) -2 * AC * BC * cos (ACB). Звідси, cos (ACB) = ((AC - 2) + (BC - 2) - (AB - 2) )/( 2 * AC * BC). Синус і тангенс цього кута можна обчислити з наведених вище визначення тангенсу кута і основного тригонометричного тотожності.