Як знайти кут між сторонами

Як знайти кут між сторонами


Вирішення завдання з відшукання кута між сторін деякої геометричної фігури слід починати з відповіді на питання: з якою фігурою ви маєте справу, тобто визначитися багатогранник перед вами або багатокутник. У стереометрії розглядається "плоский випадок" (багатокутник). Кожен багатокутник можна розбити на певну кількість трикутників. Відповідно, вирішення цього завдання можна звести до відшукання кута між сторонами одного з трикутників, що складають задану вам фігуру.

Інструкція

1. Для завдання кожній зі сторін необхідно знати її довжину і ще один певний параметр, який буде задавати положення трикутника на площині. Для цього, як правило, використовуються спрямовані відрізки - вектори. Треба зазначити, що на площині може бути нескінченно багато рівних векторів. Головне, щоб вони володіли рівною довжиною, точніше модулем |a|, а також напрямком, який задається нахилом до будь-якої осі (в декартових координатах це вісь 0Х). Тому для зручності вектори прийнято задавати за допомогою радіус-векторів r = a, початок яких розташований в точці початку координат.

2. Для вирішення поставленого питання необхідно визначити скалярний твір векторів а і b (позначається (a, b)). Якщо кут між векторами, то, за визначенням, скалярний витвір двох вітрів - це число, рівне виробленню модулів: (a, b) = |a||b'cos ф (див. ризик 1) .У декартових координатах, якщо а = {х1, y1} і b = {x2, y2}, то (a, b) = х1у2 + х2у1. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) =|а|^2=х1^2 + x2 ^ 2. Для вектора b - аналогічно. Отже, |a||b'cos ф = х1у2 + х2у1. Отже, cos ф = (х1у2 + x2y1 )/( |a||b|). Ця формула є алгоритмом вирішення поставленого завдання в "плоскому випадку".

3. Прімер1. Знайти кут між сторонами трикутника, вказаними векторами a = {3, 5} і b = {-1, 4}. Виходячи з теоретичних викладок, наведених вище, можна обчислити необхідний кут. cos ф = (х1у2 + x2y1 )/( |a||b|) = (-3 + 20 )/( 9 + 25) ^ 1/2 (1 + 16) ^ 1/2 = 18/6 (17) ^ 1/2 = 6/sqrt (17) = 1, 4552Відвіт: ф =arccos(1,4552).

4. Тепер слід розглянути випадок об 'ємної фігури (багатогранника). В даному варіанті вирішення завдання кут меду сторонами сприймається, як кут між ребрами бічної межі фігури. Однак, строго кажучи, підстава так само є межею багатогранника. Тоді рішення поставленого завдання зводиться до розгляду першого "плоского випадку". Але вектори будуть задаватися вже трьома координатами. Часто без уваги залишається варіант завдання, коли сторони взагалі не перетинаються, тобто лежать на швидких прямих. У даному випадку поняття кута між ними також визначено. При векторному завданні відрізків прямих, спосіб визначення кута меду ними єдиний - скалярний твір.

5. Приклад 2. Знайти кут ф між сторонами довільного багатогранника, заданими векторами a = {3, -5, -2} і b = {3, -4, 6}. Як тільки що з 'ясовано, той кут визначаться його косинусом, причому cos ф = (х1х2 + y1y2 + z1z2 )/( |a||b|) = (9 + 20-12 )/( 3 ст.12 + 5 ст.12 + 2) ^ 1/2 (3 ст.12 + 4 ст.12 + 6 ст.12) ^ 1/2 = 7/sqrt (29) • s ф=arccos(0,1664)