Як знаходити точку максимуму функції

Як знаходити точку максимуму функції


Точки максимуму функції поряд з точками мінімуму називаються точками екстремуму. У цих точках функція змінює характер поведінки. Екстремуми визначаються на обмежених числових інтервалах і завжди є локальними.

Інструкція

1. Процес знаходження локальних екстремумів називається дослідженням функції і виконується шляхом аналізу першої і другої похідної функції. Перед початком дослідження переконайтеся, що вказаний інтервал значень аргументу належить до допустимих значень. Наприклад, для функції F = 1/x значення аргументу х = 0 неприпустиме. Або для функції Y = tg (x) аргумент не може мати значення х = 90 °.

2. Переконайтеся, що функція Y диференційована на всьому визначеному відрізку. Знайдіть першу похідну Y '. Очевидно, що до досягнення точки локального максимуму функція зростає, а при переході через максимум функція стає вбиваючою. Перша похідна за своїм фізичним змістом характеризує швидкість зміни функції. Поки функція зростає, швидкість цього процесу є величиною позитивною. При переході через локальний максимум функція починає вбивати, і швидкість процесу зміни функції стає негативною. Перехід швидкості зміни функції через нуль відбувається в точці локального максимуму.

3. Отже, на ділянці зростання функції її перша похідна позитивна для всіх значень аргументу на цьому інтервалі. І навпаки - на ділянці убування функції значення першої похідної менше нуля. У точці локального максимуму значення першої похідної дорівнює нулю. Очевидно, щоб знайти локальний максимум функції, необхідно знайти точку х₀, в якій перша похідна цієї функції дорівнює нулю. При будь-якому значенні аргументу на досліджуваному відрізку хх₀ - негативній.

4. Щоб знайти х₀ виріште рівняння Y '= 0. Значення У (х₀) буде локальним максимумом, якщо друга похідна функції в цій точці менше нуля. Знайдіть другу похідну Y "", поставте у отриманий вираз значення аргументу х = х₀ і порівняйте результат обчислень з нулем.

5. Наприклад, функція Y = -x ^ + x + 1 на відрізку від -1 до 1 має безперервну похідну Y '= -2x + 1. При х = 1/2 похідна дорівнює нулю, причому при переході через цю точку похідна змінює знак з "+" на "-". Друга похідна функції Y "" = -2. Побудуйте за точками графік функції Y = -x ^ + x + 1 і перевірте, чи є точка з абсцисом х = 1/2 локальним максимумом на заданому відрізку числової осі.



Матеріали по темі