Як знайти зворотну функцію для даної

Як знайти зворотну функцію для даної


Зворотною функцією називають функцію, що звертає вихідну залежність у = f (x) таким чином, що аргумент х і функція у змінюються ролями. Тобто х стає функцією від y (х = f (y)). При цьому графіки взаємно зворотних функцій у = f (x) і х = f (у) симетричні по відношенню до осі ординат в першій і третій координатних чвертях декартової системи. Областю визначення зворотної функції є область значень вихідної, а областю значень у свою чергу - область визначення заданої функції.

Інструкція

1. У загальному випадку якщо ви знаходите зворотну функцію для вказаної у = f (x) виразіть аргумент х через функцію у. Для цього скористайтеся правилами множення обох частин рівності на одне і те ж значення, перенесенням багаточленів виразів, при цьому враховуйте зміну знака. У простому випадку розгляду показових функцій виду: y = (7/x) + 11, обіг аргументу х проводиться елементарно: 7/x = у-11, х = 7 * (у-11). Шукана зворотна функція має вигляд х = 7 * (у-11).

2. Однак найчастіше у функціях використовуються складні степені та логарифмічні вирази, а також тригонометричні функції. У цьому випадку при знаходженні зворотної функції потрібно враховувати відомі властивості даних математичних виразів.

3. Якщо у вихідній функції аргумент х стоїть під ступенем, для отримання зворотної функції візьміть від даного виразу корінь з тим же показником. Наприклад, для вказаної функції у = 7 + х - зворотній буде мати вигляд: f (y) = ^ у -7.

4. Під час розгляду функції, де аргумент х являє собою ступінь постійного числа, застосуйте визначення логарифма. З нього випливає, що для функції f (x) = ах зворотній буде f (y) = logay, причому заснування логарифма а - в обох випадках число, відмінне від нуля. Так само і навпаки, розглядаючи вихідну логарифмічну функцію f (x) = logax, її зворотна функція являє собою ступеневий вираз: f (y) = ау.

5. У приватному випадку дослідження функції, що містить натуральний логарифм ln х або десятковий lg х, тобто логарифми з основи числа е і 10 відповідно, отримання зворотної функції проводиться аналогічно, тільки замість підстави а підставляється експоненціальне число або число 10. Наприклад, f (x) = lg х - > f (y) = 10у і f (x) = ln х - > f (y) = еу.

6. Для тригонометричних функцій зворотними один до одного є такі пари: - y = cos x -> x = аrccos y;- y = sin x -> x = аrcsin y;- y = tan x -> x = аrctan y.