Як знайти утворюючу усіченого конуса

Як знайти утворюючу усіченого конуса


Усіченим конусом називається геометричне тіло, яке вийшло в результаті перетину повного конуса площиною, паралельною його основі. Згідно з іншим визначенням, усічений конус утворений обертанням прямокутної трапеції навколо тієї її бокової сторони, яка перпендикулярна підставам. Друга бокова сторона при цьому є утворюючою. Обчислювати її необхідно так само, як і бічну сторону прямокутної трапеції.

Вам знадобиться

  • - усічений конус з вказаними параметрами;
  • - лінійка;
  • - олівець;
  • калькулятор;
  • - теорема Піфагора;
  • - теореми синусів і косинусів.

Інструкція

1. Зробіть креслення. Позначте на ньому задані розміри усіченого конуса. Його можна побудувати за кількома параметрами. Вам повинні бути відомі радіуси основи і висота. Можуть бути й інші набори даних - наприклад, радіуси обох підстав і кут нахилу, що утворює до одного з них. Можна вказати висоту, кут нахилу і один з радіусів. Якщо ви поки ще не знаєте потрібних для побудови точного креслення параметрів, накресліть конус приблизно і позначте наявні умови.

2. Побудуйте осьовий переріз. Воно являє собою рівнобедрену трапецію ABCD, паралельні сторони якої є діаметрами основи, а бічні - утворюючими. Позначте точки перетину осі з підставами усіченого конуса як O 'і O ". Вісь О 'О "одночасно є і висотою прямого усіченого конуса. Позначте радіус нижньої основи як R, а верхньої - як r. Створюючу КД позначте як L.

3. Виконайте додаткову побудову. Накресліть з точки C висоту до радіуса нижньої основи. Вона буде паралельна і рівна осі O 'O ". Точку перетину її з площиною нижньої основи позначте як N, а саму висоту - h. У вас вийшов прямокутний трикутник CND.

4. Подивіться, які дані для обчислення гіпотенузи цього трикутника у вас є і знайдіть відсутні. За умови, що дані обидва радіуси, знайдіть сторону DN. Вона дорівнює різниці радіусів R і r. Тобто, згідно теоремі Піфагора, сторона L в даному випадку дорівнює квадратному кореню з суми квадратів висоти і різниці радіусів або L = ^ h2 + (R-r) 2.

5. Якщо висота h і кут нахилу, що утворює до основи, знайдіть утворюючу L за теоремою синусів. Вона дорівнює дробу, в числителі якої буде відомий катет h, а в знаменнику - синус протилежного їй кута CDN.

6. За умови, що дані радіус верхньої кола, висота і кут BCD, вирахуйте спочатку потрібний вам кут нахилу, що утворює до нижньої основи. Згадайте, чому дорівнює сума кутів випуклого чотирикутника. Вона дорівнює 360 °. У прямокутній трапеції O 'O' CD вам відомі три кути. Знайдіть по них четвертий і за його синусом - утворюючу.