Як знайти точку перетину кола

Як знайти точку перетину кола


Геометричні завдання, що вирішуються аналітично за допомогою прийомів алгебри, є невід 'ємною частиною програми шкільного навчання. Крім логічного і просторового мислення вони розвивають розуміння ключових взаємозв 'язків між сутностями навколишнього світу і абстракціями, застосовуваними людьми для формалізації відносин між ними. Знаходження точок перетину найпростіших геометричних фігур - один з типів подібних завдань.

Інструкція

1. Припустимо, що дані два кола, задані своїми радіусами R і r, а також координатами їх центрів - відповідно (x1, y1) і (x2, y2). Потрібно обчислити, чи перетинаються ці кола, і якщо так, то знайти координати точок перетину. Для простоти можна припустити, що центр однієї з заданих окружностей збігається з початком координат. Тоді (x1, y1) = (0, 0), а (x2, y2) = (a, b). Також має сенс припускати, що a 0 і b 0.

2. Таким чином, координати точки (або точок) перетину кола, якщо вони є, повинні задовольняти системі з двох рівнянь:x^2 + y^2 = R^2,(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.

3. Після розкриття дужок рівняння набувають вигляду:x^2 + y^2 = R^2,x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 = r^2.

4. Тепер перше рівняння можна відняти з другого. Таким чином, квадрати змінних зникають, і виникає лінійне рівняння: -2ax - 2by = r^2 - R^2 - a^2 - b^2. З його допомогою можна висловити y через x:y = (r^2 - R^2 - a^2 - b^2 - 2ax)/2b.

5. Якщо ви бажаєте встановити знайдений вираз для y рівняння кола, завдання зводиться до вирішення квадратного рівняння: x^2 + px + q = 0, гдеp = -2a/2b,q = (r^2 - R^2 - a^2 - b^2)/2b - R^2.

6. Корені цього рівняння дозволять знайти координати точок перетину кола. Якщо рівняння нерішуче у дійсних числах, кола не перетинаються. Якщо коріння збігається між собою, то кола стосуються один одного. Якщо коріння різне, кола перетинаються.

7. Якщо a = 0 або b = 0, вихідні рівняння спрощуються. Наприклад, при b = 0 система рівнянь прийме вигляд:x^2 + y2 = R^2,(x - a)^2 + y^2 = r^2.

8. Після віднімання першого рівняння з другого виходить:- 2ax + a ^ 2 = r ^ 2 - R ^ 2.Його рішення: x = - (r^2 - R^2 - a2)/2a. Очевидно, що у випадку b = 0 центри обох кола лежать на осі абсцис, і у точок їх перетину буде однакова абсциса.

9. Цей вираз для x можна поставити в перше рівняння кола і отримати квадратне рівняння відносно y. Його коріння - ординати точок перетину, якщо такі існують. Подібним чином знаходиться вираз для y, якщо a = 0.

10. Якщо a = 0 і b = 0, але при цьому R ^ r, то одна з кола свідомо знаходиться всередині іншої, і точки перетину відсутні. Якщо ж R = r, то кола збігаються, і точок їх перетину нескінченно багато.

11. Якщо у жодній з двох кола центр не збігається з початком координат, то їх рівняння матимуть вигляд:(х - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = R ^ 2, (x - x2) ^ 2 + (y - y2) ^ 2 = r ^ 2.Еслі перейти до нових координат, які отримуються зі старих методом паралельного перенесення:x = x + x1, y = y + y1, ці рівняння набувають вигляду:х ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2, (x. - (x1 + x2)) ^ 2 + (y. - (y1 + y2)) ^ 2 = r. 2.Завдання, таким чином, зводиться до попередньої. Знайшовши рішення для x - і y - можна легко повернутися до початкових координат, звернувши рівняння для паралельного перенесення.