Як знайти ранг матриці

Як знайти ранг матриці


Рангом матриці S називають найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля. Мінорами є визначники квадратної матриці, яка виходить з вихідної шляхом вибору довільних рядків і стовпчиків. Позначається ранг Rg S, а його обчислення можна виконати за допомогою проведення елементарних перетворень над заданою матрицею або методом окаймлення її мінорів.

Інструкція

1. Запишіть вказану матрицю S і визначте її найбільший порядок. Якщо кількість стовпчиків m матриці менша за 4, має сенс знаходити ранг матриці за допомогою визначення її мінорів. Згідно з визначенням, ранг дорівнюватиме найбільшому мінору, відмінному від нуля.

2. Мінором 1 порядку вихідної матриці є будь-який її елемент. Якщо хоч один з них відмінний від нуля (тобто матриця не є нульовою), слід перейти до розгляду мінорів наступного порядку.

3. Вирахуйте мінори 2 порядку матриці, послідовно вибираючи з вихідної по 2 рядки і 2 стовпчики. Запишіть отриману квадратну матрицю 2х2 і вирахуйте її визначник за формулою D = а11 * а22 - а12 * а21, де aij - елементи обраної матриці. Якщо D = 0, вирахуйте наступний мінор, вибравши іншу матрицю 2х2 з рядків і стовпчиків вихідної. Продовжуйте аналогічним чином розглядати всі мінори 2 порядку до тих пір, поки не зустрінеться ненульовий визначник. У цьому випадку переходьте до знаходження мінорів 3 порядку. Якщо всі розглянуті мінори 2 порядку дорівнюють нулю, пошук рангу завершується. Ранг матриці Rg S дорівнює останньому порядку ненульового мінора, тобто в цьому випадку Rg S = 1.

4. Вирахуйте мінори 3 порядку для вихідної матриці, вибираючи вже по 3 рядки і 3 стовпчики для обчислення визначника квадратної матриці. Визначник D матриці 3х3 знаходиться за правилом трикутника D = c11 * c22 * c33 + c13 * c21 * c32 + c12 * c23 * c31 - c21 * c12 * c33 - c13 * c22 * c31 - c11 * c32 * c23, де cij - елементи обраної матриці. Аналогічним чином при D = 0 обчислюйте інші мінори 3х3, поки не зустрінеться хоча б один ненульовий детермінант. Якщо всі знайдені визначники дорівнюють нулю, ранг матриці в даному випадку дорівнює 2 (Rg S = 2), тобто порядку попереднього ненульового мінору. При визначенні D, відмінного від нуля, переходьте до розгляду мінорів наступного 4 порядку. Якщо на певному етапі досягнуто граничного порядку m вихідної матриці, отже, її ранг дорівнюватиме цьому порядку: Rg S = m.