Як знайти похідну вектора

Як знайти похідну вектора


При описі векторів у координатній формі використовується поняття радіус-вектора. Де б вихідний не лежав вектор, все одно його початок буде збігатися з початком координат, а кінець буде позначений його координатами.

Інструкція

1. Радіус-вектор прийнято записувати наступним чином: r=r(М)=x∙i+y∙j+z∙k. Тут (x, y, z) - декарти координати вектора. Не важко уявити ситуацію, коли вектор може змінюватися залежно від будь-якого скалярного параметра, наприклад, часу t. У цьому випадку вектор можна описати як функцію трьох аргументів, визначену параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t), z = z (t), що відповідає r = r (t) = x (t). При цьому лінія, яку в міру зміни параметра t описує в просторі кінець радіус-вектора називається годографом вектора, а саме співвідношення r = r (t) називають вектор-функцією (векторною функцією скалярного аргументу).

2. Отже, вектор-функція - це вектор, залежний від параметра. Похідну вектор-функції (як і будь-якої функції, що подається у вигляді суми) можна записати в такій формі: r’=dr/dt=r’(t)= x’(t)∙i+y’(t)∙j+z’(t)∙k. (1) Похідна кожною з функцій, що входять до (1), визначається традиційно. Аналогічним чином йде справа і з r = r (t), де приріст ^ r також вектор (див. рис. 1).

3. В силу (1) можна прийти до висновку, що правила диференціювання вектор-функції повторюють правила диференціювання звичайних функцій. Так похідна суми (різниці) - є сума (різність) похідних. При обчисленні похідного вектора на число, це число можна виносити за знак похідної. Для скалярного та векторного твору зберігається правило обчислення похідного твору функцій. Для векторного твору [r (t), g (t)] "= [r" (t), g (t)] + [r (t) g "(t)]. Залишається ще одне поняття - твори скалярної функції на векторну (тут правило диференціювання твору функцій зберігається).

4. Особливий інтерес являє собою вектор-функція довжини дуги s, по якій переміщується кінець вектора, що відраховується від деякої початкової точки Мо. Це r = r (s) = u (s). i + v (s) ^ j + w (s) ^ k (див. рис. 2). За допомогою рис. 2 постарайтеся з 'ясувати геометричний зміст похідної dr/ds.

5. Відрізок АВ, на якому лежить ^ r, є хордою дуги. При цьому її довжина дорівнює ^ s. Очевидно, що відношення довжини дуги до довжини хорди прагне до одиниці при r, що прагне до нуля. ^ r = r (s + s) -r (s), |∆r |=|AB|. Тому |∆r/∆s| і в межі (при ^ s прагне до нуля) дорівнює одиниці. Отримувана при цьому похідна спрямована за дотичною до кривої dr/ds = & sigma - одиничний вектор. Отже, можна записати і другу похідну (d ^ 2) r/( ds) ^ 2 = (d/ds) [dr/ds] = d & sigma/ds.