Як знайти похідні функції

Як знайти похідні функції


Методи диференційного обчислення використовуються при дослідженні характеру поведінки функції в математичному аналізі. Однак це не єдина сфера їх застосування, часто потрібно знайти похідну, щоб розрахувати граничні величини в економіці, вирахувати швидкість або прискорення у фізиці.

Інструкція

1. Похідна функція в точці показує швидкість її зміни і обчислюється через теорію меж. Тому вона може мати як кінцеве, так і нескінченне значення. У другому випадку кажуть, що вихідна функція не диференційована в цій точці. Існують правила, за якими можна знайти похідну найпростішої, елементарної і складної функції.

похіднихнайпростіших2. Запам 'ятайте таблицю обчислення і деяких елементарних функцій:- С "= 0; - х" = 1; - (С • х) "= С • х" = С; - (sin х) "= cos х; (cos х) "= - sin х; - (tv х)" = 1/cos. (сtv х)’ = -1/sin² х;- b^х = b^х•ln b;- lоv_b х = 1/(х•ln b).

3. Застосовуйте загальні правила диференціювання. Похідна зі степеневою функцією x ^ n, де n > 1 дорівнює n • x ^ (n-1). Приклади: (х 4) "= 4 • х ; (5 • х ) "= 5 • 3 • х = 15 • х .

4. Похідна суми функцій знаходиться шляхом складання їх окремих похідних: (Σfi(х))’ = Σfi’(х). Приклади: (sin х + cos х) "= cos х - sin х; (х 5 + 6 • х 4 - 2 • х + 14 • х) "= 5 • х 4 + 24 • х - 4 • х + 14. При диференціюванні багаточлена його ступінь зменшується на 1.

5. Похідна твору, де обидва множники є функціями, дорівнює сумі двох елементів. У першому випадку це похідна першої функції і вихідний вираз другий, у другому випадку - навпаки: (f • v) "= f" • v + f • v ". (5^х•lоv_5 х)’ = (5^х)’•lоv_5 х + 5^х•(lоv_5 х)’ = 5•х•ln 5•lоv_5 х + 5^х/(х•ln 5).

6. Дріб, де чисельник і знаменник - функції, диференціюється за більш складною формулою: (f/v)’ = (f’•v – f•v’)/v². Приклад: (x • sin х )/( 5 • х ^ + 3)) ".Рішення.До цього виразу застосовні відразу два правила диференціювання: суми і твори функцій одного і того ж аргументу:(х • sin х )/( 5 • х + 3)) "= (x • sin х)" • (5 • х + 3) - x • sin х • (5 • х + 3) ")/( 5 • х + 3) = (((sin х + x • cos х) • (5 • х + 3) - x • sin х • 10 • х

7. Розкрийте дужки і наведіть подібні:х • соs х - x • sin х • (5 • х - 3 )/( 5 • х. + 3)

8. Щоб знайти похідну складної функції вигляду f (v (x)), продифференціюйте старшу функцію f, прийнявши v за простий аргумент. Потім помножте результат на похідну v "(x). Наприклад: (tv (2 • х + 3)) "= (tv х)" • (2 • х + 3) "= 1/cos (2 • х + 3) • 4 • х = 4 • x/cos (2 • х + 3).