Як знайти монотонність функції

Як знайти монотонність функції


Монотонність - це визначення поведінки функції на відрізку числової вісі. Функція може бути монотонно зростаючою або монотонно вбиваючою. На ділянці монотонності функція безперервна.

Інструкція

1. Якщо на деякому числовому проміжку зі зростанням аргументу функція збільшується, то на цій ділянці функція монотонно зростає. Графік функції на ділянці монотонного зростання спрямований знизу вгору. Якщо кожному меншому значенню аргументу відповідає зменшується порівняно з попередньою величиною функції, то така функція є монотонно спадною, а її графік постійно знижується.

2. Монотонні функції мають певні властивості. Наприклад, сума монотонно зростаючих (вбиваючих) функцій є зростаюча (вбиваюча) функція. При множенні зростаючої функції на постійний позитивний множник ця функція зберігає монотонний ріст. Якщо ж постійний множник менше нуля, то функція монотонно зростаючою стає монотонно вбиваючою.

3. Межі інтервалів монотонної поведінки функції визначаються при дослідженні функції за допомогою першої похідної. Фізичний зміст першої похідної функції - це швидкість зміни даної функції. У зростаючої функції швидкість постійно збільшується, іншими словами - якщо перша похідна на деякому інтервалі позитивна, функція на цій ділянці монотонно зростає. І навпаки - якщо на відрізку числової осі перша похідна функції менше нуля, то ця функція монотонно вбиває в межах інтервалу. Якщо похідна дорівнює нулю, значення функції не змінюється.

4. Для дослідження функції монотонності на вказаному інтервалі за допомогою першої похідної визначте, чи належить даний інтервал до області допустимих значень аргументу. Якщо функція на даному відрізку вісі існує і диференціюється, знайдіть її похідну. Визначте умови, за яких похідна більша або менша за нуль. Зробіть висновок про поведінку досліджуваної функції. Наприклад, похідна лінійна функція є постійне число, рівне множнику при аргументі. За додатного значення цього множника вихідна функція монотонно зростає, при негативному - монотонно вбиває.