Як знайти логарифм

Як знайти логарифм


Логарифмом числа x з основи a називається таке число y, що a ^ y = x. Оскільки логарифми полегшують дуже багато практичних обчислень, важливо вміти ними користуватися.

Інструкція

1. Логарифм числа x з основи a позначатимемо loga (x). Наприклад, log2 (8) - логарифм числа 8 за підставою 2. Він рівний 3, тому що 2 ^ 3 = 8.

2. Логарифм визначено тільки для позитивних чисел. Від 'ємні числа та нуль не мають логарифмів незалежно від підстави. При цьому сам логарифм може бути будь-яким числом.

3. Основою логарифма може служити будь-яке позитивне число, крім одиниці. Однак на практиці найчастіше використовуються дві підстави. Логарифми з основи 10 називаються десятковими і позначаються lg (x). Десяткові логарифми найчастіше зустрічаються в практичних обчисленнях.

4. Друга популярна підстава для логарифмів - ірраціональне трансцендентне число e = 2,71828... Логарифм з основи e називається натуральним і позначається ln (x). Функції e ^ x і ln (x) мають особливі властивості, важливі для диференційного та інтегрального обчислення, тому натуральні логарифми частіше використовуються в математичному аналізі.

5. Логарифм твору двох чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел за тією ж підставою: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Наприклад, log2 (256) = log2 (32) + log2 (8) = 8. Логарифм приватного двох чисел дорівнює різниці їх логарифмів: loga(x/y) = loga(x) - loga(y).

6. Щоб знайти логарифм числа, зведеного в ступінь, потрібно логарифм самого числа помножити на показник ступеня: loga(x^n) = n*loga(x). При цьому показник ступеня може бути будь-яким числом - позитивним, негативним, нулем, цілим або дробовим. Оскільки x ^ 0 = 1 для будь- якого x, loga (1) = 0 для будь-якого a.

7. Логарифм замінює множення додаванням, зведення в ступінь множенням, а витяг кореня поділом. Тому за відсутності обчислювальної техніки логарифмічні таблиці помітно спрощують розрахунки. Щоб знайти логарифм числа, що не входить до таблиці, його потрібно представити у вигляді твору двох або більше чисел, логарифми яких є в таблиці, і знайти остаточний результат, склавши ці логарифми.

8. Досить простий спосіб обчислити натуральний логарифм - скористатися розкладанням цієї функції в степеневий ряд:ln (1 + x) = x - (x. 2 )/2 + (x. 3 )/3 - (x. 4 )/4 +... + ((-1). (n + 1)) * ((x. n )/n). Цей ряд дає значення ln (1 + x) для -1 < x. 1. Іншими словами, так можна обчислити натуральні логарифми чисел від 0 (але не включаючи 0) до 2. Натуральні логарифми чисел за межами цього ряду можна знайти шляхом підсумовування знайдених, користуючись тим, що логарифм твору дорівнює сумі логарифмів. Зокрема ln (2x) = ln (x) + ln (2).

9. Для практичних обчислень іноді буває зручно перейти від натуральних логарифмів до десяткових. Будь-який перехід від однієї підстави логарифмів до іншого здійснюється за формулою:logb (x) = loga (x )/loga (b) .Таким чином, log10 (x) = ln (x )/ln (10).



Матеріали по темі