Як знайти кути трикутника за довжинами його сторін

Як знайти кути трикутника за довжинами його сторін

Є кілька варіантів знаходження величин всіх кутів у трикутнику, якщо відомі довжини трьох його сторін. Один із способів полягає у використанні двох різних формул обчислення площі трикутника. Для спрощення розрахунків можна також застосувати теорему синусів і теорему про суму кутів трикутника.

Інструкція

1. Скористайтеся, наприклад, двома формулами обчислення площі трикутника, в одній з яких задіяні тільки три його відомих сторони (формула Герона), а в іншій - дві сторони і синус кута між ними. Використовуючи у другій формулі різні пари сторін, ви зможете визначити величини кожного з кутів трикутника.

2. Вирішіть завдання в загальному вигляді. Формула Герона визначає площу трикутника, як квадратний корінь з твору напівпериметра (половини від суми всіх сторін) на різниці між напівпериметром і кожною зі сторін. Якщо замінити периметр сумою сторін, то формулу можна записати в такому вигляді: S=0,25∗√ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c) .C іншого боку площу трикутника можна висловити як половину твору двох його сторін на синус кута між ними. Наприклад, для сторін a і b з кутом ^ між ними цю формулу можна записати так: S=a∗b∗sin(γ). Замініть ліву частину рівності формулою Герона: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Виведіть з цього рівності формулу для синуса кута. sin(γ)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗b∗)

3. Аналогічні формули для двох інших кутів:sin (^) =0,25∗√ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c )/( b∗c∗) sin (^) =0,25∗√ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c )/( а∗с∗) Замість цих формул можна скористатися теоремою синусів Тобто, обчисливши в попередньому кроці синус одного з кутів, можна знайти синус іншого кута за більш простою формулою: sin(α)=sin(γ)∗a/c. А виходячи з того, що сума кутів у трикутнику дорівнює 180 °, третій кут можна розрахувати ще простіше: β=180°-α-γ.

4. Наприклад, використовуйте стандартний калькулятор Windows для знаходження величин кутів в градусах після того, як за формулами розрахуєте значення синусів цих кутів. Щоб зробити це, застосовуйте тригонометричну функцію, зворотну синусу - арксинус.