Як знайти кути трикутника по трьох його сторонах

Як знайти кути трикутника по трьох його сторонах


Трикутником називають геометричну фігуру з трьома сторонами і трьома кутами. Знаходження всіх цих шести елементів трикутника є одним із завдань математики. Якщо відомі довжини сторін трикутника, за допомогою тригонометричних функцій можна обчислити кути між сторонами.


  • базове знання тригонометрії

1. Нехай вказаний трикутник зі сторонами a, b і с. При цьому сума довжин двох будь-яких сторін трикутника повинна бути більше довжини третьої сторони, тобто a + b > c, b + c > a і a + c > b. І необхідно знайти градусну міру всіх кутів цього трикутника. Нехай кут між сторонами a і b позначений як , кут між b і c як , а кут між c і a як .

2. Теорема косинусів звучить так: квадрат довжини боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших довжин його сторін мінус подвоєний твір цих довжин сторін на косинус кута між ними. Тобто складіть три рівності: a²=b²+c²−2×b×c×cos(β); b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ); c²=a²+b²−2×a×b×cos(α).

3. З отриманих рівностей висловіть косинуси кутів: cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c); cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c); cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b). Тепер, коли відомі косинуси кутів трикутника, щоб знайти самі кути скористайтеся таблицями Брадіса або візьміть з цих виразів арккосинуси: β=arccos(cos(β)); γ=arccos(cos(γ)); α=arccos(cos(α)).

4. Наприклад, нехай a = 3, b = 7, c = 6. Тоді cos (.) = (3. 7. + 6. 2. - 3. 7. 11/21) = 58,4. cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°; cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°.

5. Цю ж задачу можна вирішити іншим способом через площу трикутника. Спочатку знайдіть напівпериметр трикутника за формулою p = (a + b + c) ^ 2. Потім порахуйте площу трикутника за формулою Герона S = ^ (p мм. (p ‑ a) ^ (p ‑ b) │ru (p ‑ c), тобто площа трикутника дорівнює квадратному кореню з твору напівпериметра трикутника і різниць напівпериметра і кожній зі сторін трикутника.

6. З іншого боку, площа трикутника дорівнює половині твору довжин двох сторін на синус кута між ними. Виходить S = 0,5 ст.1a ″ b ″ sin (^) = 0,5 ″ b ″ c ″ sin () = 0,5 ст.1a ″ c ″ sin (^). Тепер з цієї формули виразите синуси кутів і підставте отримане в 5 кроці значення площі трикутника: sin(α)=2×S÷(a×b); sin(β)=2×S÷(b×c); sin(γ)=2×S÷(a×c). Таким чином, знаючи синуси кутів, щоб знайти градусний захід, використовуйте таблиці Брадіса або порахуйте арксинуси цих виразів: β=arccsin(sin(β)); γ=arcsin(sin(γ)); α=arcsin(sin(α)).

7. Наприклад, нехай дано такий же трикутник зі сторонами a = 3, b = 7, c = 6. Напівпериметр дорівнює p = (3 + 7 + 6) ^ 2 = 8, площа S = ″ (8 ″ (8\3) ″ (8 _ 7) ст.1( 8 _ 6)) = 4 ст.15. Тоді sin (.) = 2. 4. 5. (3. 7) = 8. 5/21 і ^. 58,4 °; sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°; sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°.