Як знайти кут між вектором і площиною

Як знайти кут між вектором і площиною


Вектор - спрямований відрізок прямої, що має певну довжину. У просторі він задається трьома проекціями на відповідні осі. Можна знайти кут між вектором і площиною, якщо вона представлена координатами своєї нормалі, тобто загальним рівнянням.

Інструкція

фігурагеометрії1. Площина - це основна просторова , яка бере участь у побудові всіх двомірних і тривимірних форм, таких як трикутник, квадрат, паралелепіпед, призма, окружність, еліпс тощо. У кожному конкретному випадку вона обмежується певним набором ліній, які, перетинаючись, утворюють замкнуту фігуру.

2. У загальному ж вигляді площина не обмежується нічим, вона простягається по різні боки від своєї утворюючої прямої. Це плоска нескінченна фігура, яка, тим не менш, може бути задана рівнянням, тобто кінцевими числами, які є координатами її нормального вектора.

3. Виходячи з вищесказаного, можна знайти кут між будь-яким вектором і площиною, використовуючи формулу косинуса кута між двома векторами. Спрямовані відрізки можуть бути розташовані в просторі як завгодно, однак кожен вектор має таку властивість, що його можна переміщати без втрати основних характеристик, напрямку і довжини. Цим і потрібно скористатися, щоб розрахувати кут між векторами, помістивши їх зорово в одну початкову точку.

4. Отже, нехай вказано вектор V = (а, b, с) і площину А • х + В • у + C • z = 0, де А, В і C - координати нормалі N. Тоді косинус кута ^ між векторами V і N дорівнює:сos ^ = (а • А + b • B + з • С )/( ^ (а ^ + b + з ) • '(А' + '+' + C ')).

5. Щоб обчислити величину кута в градусах або радіанах, потрібно від отриманого виразу розрахувати функцію, зворотну до косинусу, тобто арккосинус:^ = arccos ((а • А + b • B + с • С )/( (а + b + з ) • (А + В + C )).

6. Приклад: знайдіть кут між вектором (5, -3, 8) і площиною, заданою загальним рівнянням 2 • x - 5 • y + 3 • z = 0. Рішення: випишіть координати нормального вектора площини N = (2, -5, 3). Будь ласка, вставте всі відомі значення у наведену формулу:сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.