Як знайти кут між руба і межею

Як знайти кут між руба і межею


Перш ніж шукати рішення поставленого завдання, слід визначити з руба і межею якої фігури ви маєте справу. Зазвичай мова йде про якогось багатогранника. Будь-яка сторона багатогранника - багатокутник, кожен з яких завжди можна розбити на трикутники. У загальному випадку буде достатньо розгляду тетраедра. При цьому абсолютно не важливо який трикутник знаходиться в підставі і яке конкретне розташування заданого ребра. Тому розв 'язання завдання зводиться до пошуку кута між прямою і площиною, що містить цю межу.

Вам знадобиться

  • - папір;
  • - ручка;
  • - лінійка.

Інструкція

1. На малюнку 1 наочно проілюстровано, що необхідно шукати кут між прямою ребра s і її проекцією ф2. Однак для цього довелося б шукати ще й пряму, що містить цю проекцію. Але завдання можна трохи спростити - знайти кут ф1 між нормаллю до площини межі і напрямним вектором прямої ребра s. Тоді стає очевидно, що ф2 = п/2 - ф1, тобто cosф1 = sinф2.

2. Для чисельного вирішення завдання необхідно обчислити скалярне (a, b) (a, b) = |a||b'cosф). У декартових координатах якщо а = {х1, y1, z1} і b = {x2, y2, z2}, то (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) =|а|^2=х1^2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2. Для вектора b - аналогічно. Тому |a||b'cos ф = x1x2 + y1y2 + z1z2. Отже, cosф = (x1x2 + y1y2 + z1z2 )/( |a||b|).твірвекторів

3. Приклад. Нехай положення ребра описується канонічними рівняннями прямої s: (x-x0 )/m = (y-y0 )/n = (z-z0 )/p, (x0, y0, z0) відома точка прямої (наприклад одна з вершин ребра), вектор s = {m, n, p} - напрямний вектор s. Нехай площина грані б визначена загальним рівнянням площини Ax + By + Cz + D = 0. Тоді її нормаль n = {A, B, C} .Для отримання однозначного вирішення завдання буде достатньо задати вектори n і s. Далі знайдіть cosф1 = (mA + nB + pC )/[ (m 2 + n 2 + p 2) (A 2 + B 2 + C 2)] (1/2). Враховуючи вказане вище співвідношення, cosф1 = sinф2, відповідь можна записати у вигляді арксинуса: ф2 = arcsin (cosф1).

4. Якщо s = {3, 2, -1}, n = {2, 0,1}, то косинус кута меду ними cosф1 = (6-1 )/[ (9 + 4 + 1) (5 + 1)] ^ (1/2)] = 5/[ (14) 6)] ^ (1/2) = 5/2 (21) ^ (1/2) = 11,45. Відповідь: ф2=arcsin(11,45).