Як знайти координати вектора в базисі

Як знайти координати вектора в базисі


Пара точок називається впорядкованою, якщо про них відомо, яка з точок є першою, а яка - другою. Відрізок з упорядкованими кінцями називається спрямованим відрізком або вектором. Базисом у векторному просторі називається така впорядкована лінійно незалежна система векторів, що будь-який вектор простору розкладається по ній. Коефіцієнти при цьому розкладанні є координатами вектора в цьому базисі.

Інструкція

1. Нехай є система векторів a1, a2,..., ak. Вона лінійно незалежна, коли нульовий вектор розкладається по ній єдиним чином. Іншими словами, тільки тривіальна комбінація цих векторів дасть своїм результатом нульовий вектор. Тривіальне розкладання передбачає рівність нулю всіх коефіцієнтів.

2. Система, що складається з одного ненульового вектора, завжди лінійно незалежна. Система з двох векторів лінійно незалежна, якщо вони не колінеарні. Щоб система з трьох векторів була лінійно незалежною, необхідно, щоб вони були некомпланарними. З чотирьох і більше векторів вже неможливо скласти лінійно незалежну систему.

3. Таким чином, в нульовому просторі базису немає. В одномірному просторі базисом може бути будь-який ненульовий вектор. У просторі розмірністю два базисом може стати будь-яка впорядкована пара неколінеарних векторів. Нарешті, впорядкована трійка некомпланарних векторів сформує базис для тривимірного простору.

4. Вектор можна розкласти за базисом, наприклад, p = ^ 1 • a1 + ^ 2 • a2 +... + ^ k • ak. Коефіцієнти під час розкладання ^ 1..., що є координатами вектора у цьому базисі. Іноді вони також називаються компонентами вектора. Оскільки базис являє собою лінійно незалежну систему, коефіцієнти розкладання визначені однозначно і єдиним чином.

5. Нехай є базис, що складається з одного вектора e. У будь-якого вектора в цьому базисі буде тільки одна координата: p=a•e. Якщо p сонаправлений базисному вектору, число a покаже співвідношення довжин векторів p і e. Якщо протилежно спрямований, число a буде ще й негативним. У разі довільного напрямку вектора p по відношенню до вектора e в компоненту a буде входити косинус кута між ними.

6. У базисі більш високих порядків розкладання буде представляти більш складне рівняння. Тим не менш, можна послідовно розкласти заданий вектор за векторами базису, аналогічно до одномірного.

7. Щоб знайти координати вектора в базисі, розташуйте вектор біля базису. Якщо необхідно, накресліть проекції вектора на координатні вісі. Порівняйте довжину вектора з базисом, розпишіть кути між ним і базисними векторами. Використовуйте для цього тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс. Розкладіть вектор по базису, а коефіцієнти при розкладанні будуть його координатами.