Як знайти координати точок перетину медіан

Як знайти координати точок перетину медіан


З курсу шкільної геометрії відомо, що медіани трикутника перетинаються в одній точці. Тому розмову слід вести про точку перетину, а не про декілька точок.

Інструкція

1. Спочатку необхідно обговорити вибір зручної для вирішення завдання системи координат. Зазвичай у завданнях такого роду одну зі сторін трикутника поміщають на осі 0Х так, щоб одна точка збігалася з початком координат. Тому не варто відходити від загальноприйнятих канонів рішення і зробити також (див. рис. 1). Спосіб завдання самого трикутника не відіграє принципової ролі, оскільки завжди можна перейти від одного з них до іншого (в чому ви надалі зможете переконатися).

2. Нехай шуканий трикутник заданий двома векторами його сторін АС і АВ a (x1, y1) і b (x2, y2), соот-вітально. Більш того, за побудовою y1 = 0. Третя сторона ВС відповідає c = a-b, c (x1-x2, y1 -y2), згідно даної ілюстрації. Точка А розміщена на початку координат, тобто її координати А (0, 0). Легко також зауважити, що координати В (x2, y2), a C (x1, 0). Звідси можна зробити висновок, що завдання трикутника двома векторами автоматично збіглося з його завданням трьома точками.

3. Далі слід добудувати шуканий трикутник до відповідного йому за розмірами паралелограма ABDC. При цьому відомо, що в точці перетину діагоналів паралелограма вони діляться навпіл, так, що AQ медіана трикутника АВС, опускається з А на бік ЗС. Вектор діагоналі s містить цю медіану і є, за правилом паралелограма, геометричною сумою a і b. Тоді s = a + b, а його координати s (x1 + x2, y1 + y2) = s (x1 + x2, y2). Такі ж координати будуть і у точки D (x1 + x2, y2).

4. Тепер можна переходити до складання рівняння прямої, що містить s, медіану AQ і, са-моє головне, шукану точку перетину медіан H. Так як сам вектор s є направляю-щим для даної прямої, а також відома точка А (0, 0), що належить їй, то найпростіше - це використовувати рівняння плоскої прямої в(х-x0 )/m = (y-y0 )/n.Тут (x0, y0) координати довільної точки прямої (точка А (0, 0)), а (m, n) - координати s (вектор (x1 + x2, y2). І так, шукана пряма l1 матиме вигляд:x/( x1+x2)=y/ y2.

5. Найбільш природний спосіб знаходження координат точки - це визначення її в перетині двох прямих. Тому слід знайти ще одну пряму, що містить т. Н. Для цього на рис. 1 виконано побудову ще одного паралелограма APBC, діагональ якого g = a + c = g (2x1-x2, -y2) містить другу медіану CW, опущену з С на бік АВ. Це діагональ містить точку С (х1, 0), координати якої відіграватимуть роль (x0, y0), а напрямний вектор тут буде g (m, n) = g (2x1-x2, -y2). Звідси l2 задається рівнянням: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

6. Вирішивши спільно рівняння для l1 і l2, легко знайти координати точки перетину медіан Н:Н ((х1 + х1 )/3, y2/3).



Матеріали по темі