Як знайти координати перетину прямих

Як знайти координати перетину прямих


Для розгляду двох прямих, які перетинаються, достатньо розгляду їх в площині, тому що дві прямі, що перетинаються, лежать в одній площині. Знаючи рівняння цих прямих, можна знайти координату їх точки перетину.

Вам знадобиться

  • рівняння прямих

Інструкція

1. У декартових координатах загальне рівняння прямої виглідить так: Ax+By+C = 0. Нехай дві прямі перетинаються. Рівняння першої прямої має вигляд Ax + By + C = 0, другої прямої - Dx + Ey + F = 0. Всі коефіцієнти (A, B, C, D, E, F) слід вказати. Щоб знайти точку перетину цих прямих потрібно вирішити систему цих двох лінійних рівнянь.

2. Для вирішення перше рівняння зручно помножити на E, а друге - на B. У результаті рівняння матимуть вигляд: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Після віднімання другого рівняння з першого, вийде: (AE-DB)x = FB-CE. Звідси, x = (FB-CE )/( AE-DB) .За аналогією перше рівняння вихідної системи можна помножити на D, друге - на A, потім знову з першого відняти другого. В результаті, y = (CD-FA )/( AE-DB). Получені значення x і y і будуть координатами точки перетину прямих.

3. Рівняння прямих також можуть записуватися через кутовий коефіцієнт k, рівний тангенсу кута нахилу прямої. У цьому випадку рівняння прямої має вигляд y = kx + b. Нехай тепер рівняння першої прямої - y = k1 * x + b1, а другої прямої - y = k2 * x + b2.

4. Якщо прирівняти праві частини цих двох рівнянь, то вийде: k1*x+b1 = k2*x+b2. Звідси легко отримати, що x = (b1-b2 )/( k2-k1). Після підстановки цього значення x у будь-яке з рівнянь, вийде: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значення x і y будуть задавати координати точки перетину прямих. У разі, якщо дві прямі паралельні або співпадають, то вони не мають спільних точок або мають нескінченно багато загальних точок відповідно. У цих випадках k1 = k2, знаменники для координат точок перетину будуть звертатися до нуля, отже система не матиме класичного рішення. Система може мати тільки одне класичне рішення, що природно, так як дві неспівпадаючі і не паралельні один одному прямі можуть мати тільки одну точку перетину.



Матеріали по темі