Як знайти другу похідну функцію

Як знайти другу похідну функцію


Диференційні обчислення - розділ математичного аналізу, який вивчає похідні першого і вищих порядків як один з методів дослідження функцій. Друга похідна певної функції виходить з першою повторним диференціюванням.

Інструкція

1. Похідна певної функції в кожній точці має певне значення. Таким чином, при її диференціюванні виходить нова функція, яка також може бути диференційована. У цьому випадку її похідна називається другою похідною вихідною функцією і позначається F "" (x).

2. Першою похідною називається межа прирощення функції до прирощення аргументу, тобто:F "(x) = lim (F (x) - F (x_0) )/( x - x_0) при x ^ 0.Второй похідної вихідної функції є похідна функції F" (x) в тій же точці x_0, а саме:F’’ (x) = lim (F’(x) – F’(x_0))/(x – x_0).

3. Для знаходження других похідних складних функцій, які важко визначити звичайним способом, застосовують методи чисельного диференціювання. При цьому для розрахунку використовують наближені формули:F’’(x) = (F(x + h) – 2*F(x) + F(x - h))/h^2 + α(h^2)F’’(x) = (-F(x + 2*h) + 16*F(x + h) – 30*F(x) + 16*F(x - h) – F(x – 2*h))/(12*h^2) + α(h^2).

4. Основа методів чисельного диференціювання - апроксимація інтерполяційним багаточленом. Наведені формули виходять в результаті подвійного диференціювання інтерполяційних багаточленів Ньютона і Стірлінга.

5. Параметр h є кроком апроксимації, вжитим для розрахунків, а ^ (h ^ 2) - це похибка апроксимації. Аналогічно, (h) для першої похідної ця нескінченно мала величина назад пропорційна h ^ 2. Відповідно, вона тим більша, чим менша довжина кроку. Тому для мінімізації похибки важливо вибрати найоптимальніше значення h. Вибір оптимального значення h називається регуляризацією за кроком. При цьому вважають, що є таке значення h, що вірно:|F (x + h) - F (x) | > - це декотра мала величина.

6. Існує інший алгоритм мінімізації похибки апроксимації. Він складається з декількох точок області значень функції F поблизу початкової точки x_0. Потім обчислюються значення функції в цих точках, за якими будується лінія регресії, яка є згладжуючою для F на малому інтервалі.

7. Отримані значення функції F являють собою часткову суму ряду Тейлора:G (x) = F (x) + R, де G (x) - згладжена функція з похибкою апроксимації R. Після дворазового диференціювання отримаємо:G "" (x) = F "" (x) + R "", звідки R "" = G "" (x) - F "" (x) .Величина R "" як відхилення наближеного значення функції від її справжнього значення і буде мінімальною похибкою апроксимації.