Як знайти алгебраїчні доповнення

Як знайти алгебраїчні доповнення


Алгебраїчне доповнення - елемент матричної або лінійної алгебри, одне з понять вищої математики поряд з визначником, мінором і зворотною матрицею. Однак незважаючи на уявну складність, знайти алгебраїчні доповнення неважко.

Інструкція

1. Матрична алгебра, як розділ математики, має велике значення для запису математичних моделей у більш компактній формі. Наприклад, поняття визначника квадратної матриці безпосередньо пов 'язане з знаходженням вирішення систем лінійних рівнянь, які використовуються в безлічі прикладних завдань, у тому числі по економіці.

2. Алгоритм знаходження алгебраїчних доповнень матриці тісно пов 'язаний з поняттями мінора і визначника матриці. Визначник матриці другого порядку обчислюється за формулою:∆ = a11·a22 – a12·a21.

3. Мінор елемента матриці порядку n - це визначник матриці порядку (n-1), який отримується шляхом видалення рядка і стовпчика, що відповідає позиції цього елемента. Наприклад, мінор елемента матриці, що знаходиться у другому рядку, третьому стовпчику:М23 = a11 · a32 - a12 · a31.

4. Алгебраїчне доповнення елемента матриці - це мінор елемента зі знаком, який знаходиться в прямій залежності від того, яку позицію елемент займає в матриці. Іншими словами, алгебраїчне доповнення дорівнює мінору, якщо сума номера рядка і стовпчика елемента - парне число, і протилежне йому за знаком, коли це число - непарне:Aij = (-1)^(i+j)·Mij.

5. Приклад.Знайдіть алгебраїчні доповнення для всіх елементів заданої матриці.

6. Рішення. Використовуйте наведену формулу для обчислення алгебраїчних доповнень. Будьте уважні при визначенні знака і запису визначників матриці:A11 = M11 = a22·a33 - a23·a32 = (0 - 10) = -10;A12 = -M12 = -(a21·a33 - a23·a31) = -(3 - 8) = 5;A13 = M13 = a21·a32 - a22·a31 = (5 - 0) = 5;

7. A21 = -M21 = -(a12·a33 - a13·a32) = -(6 + 15) = -21;A22 = M22 = a11·a33 - a13·a31 = (3 + 12) = 15;A23 = -M23 = -(a11·a32 - a12·a31) = -(5 - 8) = 3;

8. A31 = M31 = a12·a23 - a13·a22 = (4 + 0) = 4;A32 = -M32 = -(a11·a23 - a13·a21) = -(2 + 3) = -5;A33 = M33 = a11·a22 - a12·a21 = (0 - 2) = -2.