Як вписати трикутник у коло

Як вписати трикутник у коло


Якщо всі вершини трикутника лежать на одній кола, то в цьому випадку він називається вписаним, а коло, відповідно - описаним навколо нього. Побудувати трикутник на відомій кола дуже просто, але як вписати трикутник в коло, якщо спочатку існує саме він?

Вам знадобиться

  • - циркуль;
  • - папір;
  • - олівець;
  • - лінійка.

Інструкція

1. Для кожного трикутника завжди можна побудувати описане коло, оскільки ця крива однозначно визначається трьома вказаними точками. Щоб це виявити, достатньо припустити, що трикутник заданий декартовими координатами своїх вершин. У цьому випадку радіус і координати центру кола, що проходить через всі три точки, повинні бути рішеннями системи з трьох рівнянь другого ступеня з трьома невідомими. Ця система буде мати єдине рішення в тому випадку, якщо задані точки не лежать на одній прямій (в цьому останньому випадку вона зовсім не має рішень). Але три точки, що лежать на одній прямій, не можуть бути вершинами трикутника, отже, цей випадок можна навіть не розглядати. Отже, рішення завідомо існує.

2. Щоб трикутник був вписаний в окружність, очевидно, потрібно, щоб її центр знаходився на рівній відстані від усіх трьох його вершин. Завдання, таким чином, зводиться до знаходження центру описаної кола.

3. Сторона вписаного трикутника буде хордою описаної кола. Для будь-якої такої хорди існує перпендикулярний до неї радіус, причому точка їх перетину ділить хорду рівно навпіл. Отже, будь-який серединний перпендикуляр трикутника (тобто пряма, що проходить через середину його сторони і перпендикулярна їй) проходить через центр описаної кола. Достатньо провести два таких перпендикуляри, і точка їх перетину буде центром. Радіус описаного кола однозначно визначається відстанню до будь-якої з вершин.

4. Процедура ділення відрізка навпіл циркулем і лінійкою являє собою, по суті, побудову серединного перпендикуляра. Таким чином, завдання знаходження центру описаної кола зводиться до поділу циркулем і лінійкою двох сторін трикутника.

5. Якщо вказаний трикутник - прямокутний, центр описаної кола збігається з серединою його гіпотенузи.