Як визначити тип диференційного рівняння

Як визначити тип диференційного рівняння

У математиці існує багато різних типів рівнянь. Серед диференційних також розрізняють кілька підвидів. Відрізнити їх можна за низкою істотних ознак, характерних для тієї чи іншої групи.

Вам знадобиться

  • - зошит;
  • - ручка

Інструкція

1. Якщо рівняння представлено у вигляді: dy/dx = q (x )/n (y), відносьте їх до категорії диференційних рівнянь з змінними, що розділяються. Їх можна вирішити, записавши умову в диференціалах за такою схемою: n(y)dy = q(x)dx. Потім проінтегруйте обидві частини. У деяких випадках рішення записується у вигляді інтегралів, взятих від відомих функцій. Наприклад, у випадку dy/dx = x/y, вийде q (x) = x, n (y) = y. Запишіть його у вигляді ydy = xdx і проінтегруйте. Має вийти y ^ 2 = x ^ 2 + c.

2. До лінійних рівнянь відносьте рівняння "першого ступеня". Невідома функція з її похідними входить в подібне рівняння лише в першій мірі. Лінійне диференційне рівняння має вигляд dy/dx + f (x) = j (x), де f (x) і g (x) - функції, що залежать від x. Рішення записується за допомогою інтегралів, взятих від відомих функцій.

3. Врахуйте, що багато диференційних рівнянь - це рівняння другого порядку (що містять другі похідні) Таким, наприклад, є рівняння простого гармонійного руху, записане у вигляді загальної формули: md 2x/dt 2 = –kx. Такі рівняння мають переважно приватні рішення. Рівняння простого гармонійного руху є прикладом досить важливого класу: лінійних диференційних рівнянь, у яких є постійний коефіцієнт.

4. Розгляньте більш загальний приклад (другого порядку): рівняння, де у і z - є заданими постійними, f (x) - вказана функція. Подібні рівняння можна вирішити різними способами, наприклад, за допомогою інтегрального перетворення. Це ж саме можна сказати і про лінійні рівняння більш високих порядків, що мають постійні коефіцієнти.

5. Візьміть до уваги, що рівняння, які містять невідомі функції, а також їх похідні, що стоять у ступені вище першої, називаються нелінійними. Вирішення нелінійних рівнянь досить складні і тому, для кожного з них використовується свій приватний випадок.

Авторство: Редакція «Gazette»