Як визначити кут між двома прямими

Як визначити кут між двома прямими


Пряма в просторі задається канонічним рівнянням, що містить координати її напрямних векторів. Виходячи з цього, визначити кут між прямими можна за формулою косинуса кута, утвореного векторами.

Інструкція

1. Визначити кут між двома прямими в просторі можна, навіть якщо вони не перетинаються. У цьому випадку потрібно подумки поєднати початку їх напрямних векторів і обчислити величину одержаного кута. Іншими словами, це будь-який з суміжних кутів, утворених схрещуваними прямими, проведеними паралельно даними.

завданняпрямий2. Існує декілька способів у просторі, наприклад, векторно-параметричний, параметричний і канонічний. Три згадані методи зручно використовувати при знаходженні кута, оскільки всі вони передбачають введення координат напрямних векторів. Знаючи ці величини, можна визначити утворений кут за теоремою косинусів з векторної алгебри.

3. Припустимо, дві прямі L1 і L2 задані канонічними рівняннями:L1: (x – x1)/k1 = (y – y1)/l1 = (z – z1)/n1;L2: (x – x2)/k2 = (y – y2)/l2 = (z – z2)/n2.

4. Використовуючи величини ki, li і ni, запишіть координати напрямних векторів прямих. Назвіть їх N1 і N2:N1 = (k1, l1, n1);N2 = (k2, l2, n2).

5. Формула для косинуса кута між векторами являє собою співвідношення між їх скалярним витвором і результатом арифметичного множення їх довжин (модулів).

6. Визначте скалярний твір векторів як суму творів їх абсцис, ординат і аплікат:N1•N2 = k1•k2 + l1•l2 + n1•n2.

7. Вирахуйте квадратні корені з сум квадратів координат, щоб визначити додатки напрямних векторів:|N1| = √(k1² + l1² + n1²);|N2| = √(k2² + l2² + n2²).

8. Використовуйте всі отримані вирази, щоб записати загальну формулу косинуса кута N1N2:cos (N1N2) = (k1 • k2 + l1 • l2 + n1 • n2 )/( Погляд на величину самого кута) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

9. Приклад: визначити кут між вказаними прямими:L1: (x - 4)/1 = (y + 1)/(-4) = z/1;L2: x/2 = (y - 3)/(-2) = (z + 4)/(-1).

10. Рішення:N1 = (1, -4, 1); N2 = (2, -2, -1).N1•N2 = 2 + 8 – 1 = 9;|N1|•|N2| = 9•√2.cos (N1N2) = 1/√2 → N1N2 = π/4.