Як визначити координати центру тяжкості

Як визначити координати центру тяжкості


В однорідному гравітаційному полі центр тяжкості збігається з центром мас. У геометрії поняття "центр тяжкості" і "центр мас" також еквівалентні, оскільки існування гравітаційного поля не розглядається. Центр мас називається ще центром інерції і барицентром (від греч. barus ‑ важкий, kentron ‑ центр). Він характеризує рух тіла або системи частинок. Так, при вільному падінні тіло обертається навколо свого центру інерції.

Інструкція

1. Нехай система складається з двох однакових точок. Тоді центр тяжкості, очевидно, розташовується посередині між ними. Якщо точки з координатами x1 і x2 мають різні маси m1 і m2, координата центру мас x (c) = (m1 · x1 + m2 · x2 )/( m1 + m2). Залежно від вибраного "нуля" системи відліку, координати можуть бути і негативними.

2. Точки на площині мають дві координати: x і y. Під час завдання в просторі додається ще третя координата z. Щоб не розписувати кожну координату окремо, зручно розглядати радіус-вектор точки: r = x · i + y · j + z · k, де i, j, k ‑ орти координатних осей.

3. Нехай тепер система складається з трьох точок з масами m1, m2 і m3. Їх радіус-вектори, відповідно, r1, r2 і r3. Тоді радіус-вектор їхнього центру тяжкості r (c) = (m1 · r1 + m2 · r2 + m3 · r3 )/( m1 + m2 + m3).

4. Якщо система складається з довільного числа точок, тоді радіус-вектор, за визначенням, знаходиться за формулою:r(c)=∑m(i)·r(i)/∑m(i). Підсумовування проводиться за індексом i (записується знизу від знака суми ∑). Тут m (i) ‑ маса деякого i-го елемента системи, r (i) _ його радіус-вектор.

5. Якщо тіло однорідне по масі, сума переходить в інтеграл. Розбийте подумки тіло на нескінченно маленькі шматочки масою dm. Оскільки тіло однорідне, масу кожного шматочка можна записати як dm = · dV, де dV ‑ елементарний об 'єм цього шматочка, ‑ щільність (однакова за всім обсягом однорідного тіла).

6. Інтегральне підсумовування маси всіх шматочків дасть масу всього тіла: ∑m(i)=∫dm=M. Отже, виходить r (c) =1/M·∫ρ·dV·dr. Щільність, постійну величину, можна винести з-під знака інтеграла: r(c)=ρ/M·∫dV·dr. Для безпосереднього інтегрування потрібно встановити певну функцію між dV і dr, яка залежить від параметрів фігури.

7. Наприклад, центр тяжкості відрізка (довгого однорідного стрижня) знаходиться посередині. Центр мас сфери і кулі розташовується в центрі. Барицентр конуса знаходиться на чверті висоти осьового відрізка, рахуючи від основи.

8. Барицентр деяких простих фігур на площині легко визначити геометрично. Наприклад, для плоского трикутника це буде точка перетину медіан. Для паралелограма - точка перетину діагоналів.

9. Центр тяжкості фігури можна визначити і дослідним шляхом. Виріжте з аркуша щільного паперу або картону будь-яку фігуру (наприклад, той самий трикутник). Спробуйте встановити її на кінчику вертикально витягнутого пальця. Те місце на фігурі, для якого вийде це зробити, і буде центром інерції тіла.