Як вирішувати завдання без х

Як вирішувати завдання без х


При вирішенні диференційних рівнянь не завжди явно доступний аргумент x (або час t у завданнях фізичних). Проте - це спрощений приватний випадок завдання диференційного рівняння, що часто сприяє спрощенню пошуку його інтеграла.

Інструкція

    1. Розгляньте фізичне завдання, що призводить до диференційного рівняння, в якому відсутній аргумент t. Це завдання про коливання математичного маятника масою m, підвішеного на нитки довжиною r, розташованої у вертикальній площині. Потрібно знайти рівняння руху маятника, якщо в початковий був нерухомий і відхилений від стану рівноваги на кут. Силами опору слід знехтувати (див. рис. 1a).     моментмаятник    

                2. Рішення. Математичний маятник являє собою матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці в точці О. На точку діють дві сили: сила тяжкості G = mg і сила натягнення нитки N. Обидві ці сили лежать у вертикальній площині. Тому для вирішення завдання можна застосувати рівняння обертального руху точки навколо горизонтальної осі, що проходить через точку О. Рівняння обертального руху тіла має вигляд, наведений на рис. 1b. При цьому I - момент інерції матеріальної точки; j - кут повороту нитки разом з точкою, що відраховується від вертикальної осі проти годинникової стрілки; M - момент сил, докладених до матеріальної точки.

       3. Вирахуйте ці величини. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Але M (N) = 0, оскільки лінія дії сили проходить через точку О. M (G) = -mgrsinj. Знак "-" позначає, що момент сили спрямований у бік протилежну руху. Поставте момент інерції та момент сили в рівняння руху і отримайте рівняння, відображене на рис. 1с. Скорочуючи масу, виникає співвідношення (див. рис. 1d). Тут немає аргументу t.

            4. У загальному випадку диференційне рівняння n-го порядку не має х і дозволене відносно старшої похідної y (n) = f (y, y ", y" ",..., y (n-1)). Для другого порядку це y "" = f (y, y "). Виріште його підстановкою y '= z = z (y). Оскільки для складної функції dz/dx = (dz/dy) (dy/dx), y "" = z 'z. Це призведе до рівняння першого порядку z 'z = f (y, z). Виріште його будь-яким з відомих вам способів і отримаєте z = (y, C1). У результаті отримано dy/dx = (y, C1), () = x + C2. Тут С1 і С2 - довільні постійні.

     5. Конкретне рішення залежить від виду виниклого диференційного рівняння першого порядку. Так, якщо це рівняння з змінними, що розділяються, то воно вирішується безпосередньо. Якщо це однорідне рівняння відносно y, для вирішення застосуйте підстановку u (y) = z/y. Для лінійного рівняння z = u (y) * v (y).