Як вирішувати за формулою Крамера

Як вирішувати за формулою Крамера


Метод Крамера - це алгоритм, що дозволяє вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою матриці. Автор методу - Габріель Крамер, який жив у першій половині XVIII століття.

Інструкція

1. Нехай задана певна система лінійних рівнянь. Її необхідно записати в матричному вигляді. В основну матрицю підуть коефіцієнти перед змінними. Для запису додаткових матриць потрібні будуть і вільні члени, що розташовуються зазвичай праворуч від знака рівності.

2. Кожна змінна має мати свій "порядковий номер". Наприклад, у всіх рівняннях системи на першому місці стоїть x1, на другому - x2, на третьому - x3 тощо. Тоді кожній з цих змінних буде відповідати свій стовпчик в матриці.

числаневідомих3. Для застосування методу Крамера необхідно, щоб матриця, що вийшла, була квадратною. Цій умові відповідає рівність і кількості рівнянь у системі.

4. Знайдіть детермінант основної матриці. Він повинен бути ненульовим: лише в цьому випадку рішення системи буде єдиним і однозначно визначеним.

5. Щоб записати додатковий детермінант. (i), замініть i-й стовпчик стовпчиком вільних членів. Кількість додаткових визначників дорівнюватиме числу змінних у системі. Вирахуйте всі визначники.

6. З отриманих визначників залишилося лише знайти значення невідомих. У загальному вигляді формула для знаходження змінних виглядає так: x(i) = Δ(i)/Δ.

7. Приклад. Система, що складається з трьох лінійних рівнянь, що містить три невідомі x1, x2 і x3, має вигляд:a11•x1 + a12•x2 + a13•x3 = b1,a21•x1 + a22•x2 + a23•x3 = b2,a31•x1 + a32•x2 + a33•x3 = b3.

8. З коефіцієнтів перед невідомими запишіть основний детермінант:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

9. Обчисліть його:Δ = a11•a22•a33 + a31•a12•a23 + a13•a21•a32 – a13•a22•a31 – a11•a32•a23 – a33•a12•a21.

10. Замінивши перший стовпчик вільними членами, складіть перший додатковий визначник:b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

11. Аналогічну процедуру проведіть з другим і третім стовпчиками:a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

12. Вирахуйте додаткові детермінанти:Δ(1) = b1•a22•a33 + b3•a12•a23 + a13•b2•a32 – a13•a22•b3 – b1•a32•a23 – a33•a12•b2.Δ(2) = a11•b2•a33 + a31•b1•a23 + a13•a21•b3 – a13•b2•a31 – a11•b3•a23 – a33•b1•a21.Δ(3) = a11•a22•b3 + a31•a12•b2 + b1•a21•a32 – b1•a22•a31 – a11•a32•b2 – b3•a12•a21.

13. Знайдіть невідомі, запишіть відповідь:x1 = Δ(1)/Δ, x2 = Δ(2)/Δ, x3 = Δ(3)/Δ.



Матеріали по темі