Як вирішувати логарифмічну нерівність

Як вирішувати логарифмічну нерівність


Логарифмічні нерівності - це нерівності, що містять невідоме під знаком логарифма і (або) в його підставі. При вирішенні логарифмічних нерівностей часто використовують такі твердження:

Вам знадобиться

  • Вміння вирішувати системи і сукупність нерівностей

Інструкція

1. Якщо основа логарифма а > 0, нерівність logaF (x) > logaG (x) рівнозначна системі нерівності F (x) > G (x), F (x) > 0, G (x) > 0. Розгляньмо приклад: lg(2x^2+4x+10)>lg(x^2-4x+3). Перейдемо в рівносильній системі нерівностей: 2x^2+4x+10>x^2-4x+3, 2x^2+4x+10>0, x^2-4x+3>0. Вирішивши цю систему, отримуємо рішення даної нерівності: х належить проміжкам (-бесконечності, -7), (-1,1), (3, + нескінченності).

2. Якщо основа логарифма знаходиться в інтервалі від 0 до 1, нерівність logaF (x) > logaG (x) рівнозначна системі нерівності F (x) 0, G (x) > 0. Наприклад, log (x + 25) з основи 0.5 > log (5x-10) з основи 0,5. Перейдемо в рівносильній системі нерівностей: x+25<8x-10, x+25>0, 8x-10>0. При вирішенні цієї системи нерівності, отримуємо x > 5, що і буде вирішенням початкової нерівності.

3. Якщо невідоме стоїть і під знаком логарифма і в його основі, то рівняння logF (x) за основою h (x) > logG (x) за основою h (x) рівнозначно сукупності систем: 1 система - h (x) > 1, F (x) > G (x), F (x) > 0, G (x) > 0; 2 - 00, G(x)>0. Наприклад, log (5-x) з основи (x + 2 )/( x-3) > log (4-x) з основи (x + 2). Зробимо рівносильний перехід до сукупності систем нерівностей: 1 система - (x + 2 )/( x-3) > 1, x + 2 > 4-x, x + 2 > 0, 4-x > 0; 2 система - 0 < (x + 2 )/( x-3) < 1, x + 2 < 4-x, x + 2 > 0, 4-x > 0. Вирішуючи цю сукупність систем, отримуємо 3

4. Деякі логарифмічні рівняння можна вирішити за допомогою заміни змінної. Наприклад, (lgX) ^ 2 + lgX-2 > = 0. Позначимо lgX = t, тоді отримуємо рівняння t ^ 2 + t-2 > = 0, вирішуючи яке отримуємо t < = -2 або t > = 1. Таким чином отримуємо сукупність нерівностей lgX < = 2, lgX > = 1. Вирішуємо їх, x > = 10 ^ (-2)? 00.