Як створити рівняння площини

Як створити рівняння площини


Площина є одним з основних понять, що зв 'язують ^ метрію і стереометрію (розділи геометрії). Ця фігура також часто зустрічається в завданнях з аналітичної геометрії. Щоб створити рівняння площини, достатньо мати координати трьох точок. Для другого основного способу рівняння площини необхідно вказати координати однієї точки і напрямок нормального вектора.

Вам знадобиться

  • - калькулятор.

Інструкція

1. Якщо відомі координати трьох точок, через які проходить площина, запишіть рівняння площини у вигляді визначника третього порядку. Нехай (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) і (z1, z2, z3) - координати першої, другої і третьої точки відповідно. Тоді рівняння площини, що проходить через ці три точки, виглядає наступним чином:│ x-x1 y-y1 z-z1 ││x2-x1 y2-y1 z2-z1│ = 0│x3-x1 y3-y1 z3-z1│

2. Приклад: скласти рівняння площині, що проходить через три точки з координатами: (-1; 4; -1), (-13; 2; -10), (6; 0; 12). Рішення: підставляючи координати крапок у вищенаведену формулу, отримаємо:х + 1 y-4 z + 1. -12 -2 -9. = 0. 7 -4 13. В принципі, це і є рівняння шуканої площини. Однак якщо розкласти визначник за першим рядком, то вийде більш простий вираз:-62 * (х + 1) + 93 * (у-4) + 62 * (z + 1) = 0. Розділивши обидві частини рівняння на 31 і навівши подібні, отримаємо:-2x + 3y + 2z-12 = 0 .Відвіт: рівняння площини, що проходить через точки з координатами (-1; 4; -1), (-13; 2; -10) і (6; 0; 12)-2х+3у+2z-12=0.

3. Якщо рівняння площини, що проходить через три точки, потрібно скласти без використання поняття "визначник" (молодші класи, тема - системи лінійних рівнянь), скористайтеся наступним міркуванням. Рівняння площини в загальному вигляді має вигляд Ax + ByCz + D = 0, причому одній площині відповідає безліч рівнянь з пропорційними коефіцієнтами. Для простоти обчислення параметр D зазвичай приймає рівним 1, якщо площина не проходить через початок координат (для площини, що проходить через початок координат, D = 0).

4. Оскільки координати точок, що належать площині, повинні задовольняти вищенаведеному рівнянню, то в результаті виходить система з трьох лінійних рівнянь:-A + 4B-C + 1 = 0-13A + 2B-10С + 1 = 06А + 12С + 1 = 0, вирішивши яку і позбувшись дробів, отримаємо вищенаведене рівняння (-2x + 3y + 2z-12 = 0).

5. Якщо задано координати однієї точки (х0, у0, z0) і координати вектора нормалі (А, В, С), щоб створити рівняння площини, просто запишіть рівняння:А (х-х0) + В (у-y0) + C (z-z0) = 0. Після приведення подібних це і буде зрівняненням площини.

6. Якщо ви бажаєте вирішити завдання створення рівняння площини, що проходить через три точки, в загальному вигляді, розкладіть рівняння площини, записаної через визначник, за першим рядком:(х-х1) * (у2-y1) * (z3-z1) - (x-x1) * (z2-z1) * (y3-y1) - (y-y1) * (x2-x1) * (z3-z1) + (y-y1) * (z2-z1) * (x3-x1) + (z-z1