Як шукати похідну

Як шукати похідну


Диференціювання функцій, тобто знаходження їх похідних - основа основ математичного аналізу. Саме з відкриття похідних, власне, і почався розвиток цієї галузі математики. У фізиці, а також і в інших дисциплінах, що мають справу з процесами, диференціювання відіграє найважливішу роль.


Інструкція

1. У найпростішому визначенні, похідній від функції f (x) в точці x0 називається межа ставлення приросту цієї функції до прирощення її аргументу, якщо приріст аргументу прагне до нуля. У певному значенні, похідна позначає швидкість зміни функції в даній точці. Прирощення математики позначаються літерою. Приріст функції y = f (x0 + ^ x) - f (x0). Тоді похідна буде дорівнювати f 0 = . Знак ∂ позначає нескінченно мале прирощення, або диференціал.

2. Функція g (x), для якої в будь-якій точці x0 її області визначення g (x0) = f (x0) називається похідною функцією, або просто похідною, і позначається f (x).

3. Щоб обчислити похідну визначеної функції, можна, виходячи з її визначення, порахувати межу відносини (^ y/^ x). При цьому найкраще перетворити цей вираз так, щоб ^ x можна було в результаті просто опустити. Наприклад, припустимо, що вам потрібно знайти похідну від функції f (x) = x ^ 2. ^ y = (x + x) ^ 2 - x 2 = 2x ^ x + ^ 2. Це означає, що межа стосунків, що знаходяться на межі виразу 2x + ^ x. Очевидно, що якщо 'x прагне до нуля, то цей вираз прагне до 2x. Отже, (x ^ 2) ^ = 2x.

4. Безпосереднім обчисленням знаходять базові, т. зв. табличні похідні. При вирішенні завдань на знаходження похідних потрібно завжди намагатися звести задану похідну до табличних.

5. Похідна будь-якої константи завжди дорівнює нулю: (C)′ = 0.

6. Для будь-якого p > 0 похідна від функції x ^ p дорівнює p * x ^ (p-1). Якщо p < 0, то (x '- -1/( p * x ^ (p + 1)). Наприклад, (x, 4), ^ = 4x, 3, а (1/x) - -1/( x - 2).

7. Якщо a > 0 і a ^ 1, то (a ^ x) ^ = (a ^ x) * ln (a). З цього, зокрема, випливає, що (e x) = e x.Похідна логарифма x за основою a дорівнює 1/( x * ln (a). Таким чином, (ln (x)) ^ = 1/x.

8. Похідні тригонометричних функцій пов 'язані між собою простим співвідношенням:(sin(x))′ = cos(x); (cos(x))′ = -sin(x).

9. Похідна суми функцій дорівнює сумі похідних: (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x).

10. Якщо u (x) і v (x) - функції, у яких є похідні, то (u * v) ^ = u. * v + u * v. Наприклад, (x * sin (x)). = x * sin (x) + x * (sin (x)) ^ = sin (x) + x * cos (x). Виробна від приватного u/v дорівнює (u * v - u * v )/( v 2). Наприклад, якщо f (x) = sin (x )/x, то f ^ (x) = (sin (x) - x * cos (x) )/( x ^ 2). З цього, зокрема, випливає, що якщо k - константа, то (k * f (x)).

11. Якщо дана функція, яку можна уявити у вигляді f (g (x)), f (u) називається зовнішньою функцією, а u = g (x) - внутрішньою. Тоді f (g (x)) ^ = f ^ (g (x)) * g ^ (x). Напів, якщо дана функція f (x) = sin (x) ^ 2, то f ^ (x) = 2 * sin (x) * cos (x). Тут квадрат - зовнішня функція, а синус - внутрішня. З іншого боку, sin (x ^ 2) ^ = cos (x ^ 2) * 2x. У цьому прикладі синус - зовнішня функція, а квадрат - внутрішня.

12. Тим же шляхом, що і похідну, можна вирахувати похідну від похідної. Така функція називається другою похідною від f (x) і позначатиметься f '(x). Приміром, (x. 3) - (3x. 2). = 6x. Можуть існувати і похідні більш високих порядків - третя, четверта тощо.