Як рахувати межі

Як рахувати межі


У підручниках з математичного аналізу значна увага приділяється прийомам обчислення меж функцій і послідовностей. Існують готові правила і методи, застосовуючи які, можна з легкістю вирішувати навіть відносно складні завдання на межі.

Інструкція

1. У математичному аналізі існують поняття меж послідовностей і функцій. Якщо потрібно знайти межу послідовності, це записують наступним чином: lim xn=a. У такій послідовності послідовності xn прагне до a, а n до нескінченності. Послідовність зазвичай представляють у вигляді ряду, наприклад:х1, x2, x3..., xm,..., xn... .Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Наприклад:xn = n ^ 2 - зростаюча послідовність = 1/n - спадна послідовність Так, наприклад, межа послідовності xn = 1/n ^ 2 дорівнює:lim 1/n ^ 2 = 0x. Ця межа дорівнює нулю, оскільки n , а послідовність 1/n ст.12 прагне до нуля.

2. Зазвичай змінна величина x прагне до кінцевої межі a, причому, x постійно наближається до a, а величина a постійна. Це записують наступним чином: limx = a, при цьому n також може прагнути як до нуля, так і до нескінченності. Існують нескінченні функції, для них межа прагне до нескінченності. В інших випадках, коли, наприклад, функцією описується уповільнення ходу поїзда, можна говорити про межі, що прагне до нуля. Межі мають низку властивостей. Як правило, будь-яка функція має тільки одну межу. Це головна властивість межі. Інші властивості наведено нижче:* Межа суми дорівнює сумі меж:lim (x + y) = lim x + lim y * Межа твору дорівнює створенню меж:lim (xy) = lim x * lim y * Межа приватного дорівнює приватному від меж:lim (x/y) = lim x/lim y * Постійний множник виносять за знак межі:lim (Cx) = C lim хЯкщо дана функція 1/x, в якій x ^, її межа дорівнює нулю. Якщо ж x '0, межа такої функції дорівнює. Для тригонометричних функцій є винятки з цих правил. Оскільки функція sin x завжди прагне до одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедливе тотожність:lim sin x/x=1x→0

3. У ряді завдань зустрічаються функції, при обчисленні меж яких виникає невизначеність - ситуація, при якій межу неможливо вирахувати. Єдиним виходом з такої ситуації стає застосування правила Лопіталя. Існує два види невизначеностей:* невизначеність вигляду 0/0 * невизначеність вигляду. Наприклад, дано межу такого виду: lim f (x )/l (x), причому f (x0) = l (x0) = 0. У такому випадку виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такого завдання обидві функції піддають диференціюванню, після чого знаходять межу результату. Для невизначеностей вигляду 0/0 межа дорівнює: lim f (x )/l (x) = lim f "(x )/l" (x) (x) (x - 0) Це ж правило справедливе і для невизначеностей типу. Але в цьому випадку справедливо наступна рівність: f (x) = l (x) = ^ C за допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, в яких фігурують невизначеності. Обов 'язкова умова при тому - відсутність помилок при знаходженні похідних. Так, наприклад, похідна функції (x ^ 2) 'дорівнює 2x. Звідси можна зробити висновок, що:f'(x)=nx^(n-1)



Матеріали по темі