Як привести матрицю до канонічного вигляду

Як привести матрицю до канонічного вигляду


Матриці - зручний інструмент для вирішення найрізноманітніших алгебраїчних завдань. Знання деяких простих правил для оперування з ними дозволяє приводити матриці до будь-яких зручних і необхідних в даний момент форм. Часто корисним є використання канонічної форми матриці.

Інструкція

1. Запам 'ятайте, що канонічний вигляд матриці не вимагає, щоб на всій головній діагоналі стояли одиниці. Суть визначення полягає в тому, що єдині ненульові елементи матриці в її канонічному вигляді - це одиниці. Якщо вони присутні, то розташовуються на головній діагоналі. При цьому їх кількість може варіюватися від нуля до кількості .рядківв матриці

2. Не забувайте, що елементарні перетворення дозволяють будь-яку матрицю привести до канонічного вигляду. Найбільша складність - інтуїтивно знайти найбільш просту послідовність ланцюжків дій і не помилитися в обчисленнях.

3. Вивчіть основні властивості операцій з рядками і стовпчиками в матриці. До елементарних перетворень відносять три стандартні перетворення. Це множення рядка матриці на будь-яке ненульове число, підсумовування рядків (у тому числі додавання до однієї іншої, помноженої на якесь число) і їх перестановка. Подібні дії дозволяють отримати матрицю еквівалентну даній. Відповідно, ви можете виконати такі дії і зі стовпчиками без втрати еквівалентності.

4. Намагайтеся не виконувати одночасно відразу кілька елементарних перетворень: просувайтеся від етапу до етапу, щоб не допустити випадкової помилки.

5. Знайдіть ранг матриці, щоб визначити кількість одиниць на головній діагоналі: це підкаже вам, який остаточний вигляд матиме шукана канонічна форма, і позбавить від необхідності виконувати перетворення, якщо потрібно просто використовувати її для вирішення.

6. Скористайтеся методом спокійних мінорів для того, щоб виконати попередню рекомендацію. Вирахуйте мінор до-ого порядку, а також всі окаймаючі його мінори ступеня (до + 1). Якщо вони дорівнюють нулю, то ранг матриці є число к. Не забувайте, що мінор Mij - це визначник матриці, отримуваної при викресленні рядка i і стовпця j з вихідної.