Як побудувати перетин площин

Як побудувати перетин площин


Перетин двох площин визначає просторову пряму. Будь-яку пряму можна побудувати за двома точками, проводячи її безпосередньо в одній з площин. Завдання вважається вирішеним, якщо вдалося знайти дві конкретні точки прямої, що лежить у перетині площин.

Інструкція

1. Нехай пряма вказана перетином двох площин (див. рис), для яких дані їх загальні рівняння. A1x+B1y+C1z+D1=0 иA2x+B2y+C2z+D2=0. Шукана пряма належить обом цим площинам. Відповідно, можна зробити висновок, що всі її точки можна знайти з двох цих рівнянь.рішеннясистеми

2. Нехай, для прикладу, площини будуть задані наступними виразами: 4x-3y4z + 2 = 0 і 3x-y-2z-1 = 0. Вирішувати подібну задачу можна будь-яким зручним для вас способом. Нехай z = 0, тоді дані рівняння можна переписати у вигляді:4х-3y = -2 і 3x-y = 1.

3. Відповідно, "у" можна висловити наступним чином: y=3x-1. Таким чином, матимуть місце виразу: 4x-9x+3=-2; 5x=5; x=1; y=3-1=2. Перша точка шуканої прямої - М1 (1, 2, 0).

4. Тепер припустіть, що z = 1. З вихідних рівнянь вийде:1. 4x-3y-1 + 2 = 0 і 3x-y-2-1 = 0 або 4x-3y = -1 і 3x-y = 3. 2. y = 3x-3, тоді перший вираз матиме вигляд 4x-9x + 9 = -1, 5x = 10, x = 2, y = 6-3 = 3. Виходячи з цього, друга точка має координати М2 (2, 3, 1).

5. Якщо провести через М1 і М2 пряму, то завдання буде вирішено. Тим не менш, можна привести більш наочний спосіб знаходження положення шуканої прямої рівняння - складання канонічного рівняння.

6. Воно має вигляд (x-x0 )/m = (y-y0 )/n = (z-z0 )/p, тут {m, n, p} = s - координати напрямного вектора прямої. Оскільки у переглянутому прикладі знайдено дві точки прямої, її напрямний вектор s = M2M2 = {2-1, 3-2, 1-0} = {1, 1, 1}. Як M0 (x0, y0, z0) можна взяти будь-яку з точок (М1 або М2). Нехай це буде М1 (1, 2, 0), тоді канонічні рівняння прямого перетину двох площин прийме вигляд:(х-1) = (y-2) = z.