Як обчислити площу фігури, обмежену графіками функцій

Як обчислити площу фігури, обмежену графіками функцій


Графіки двох функцій на загальному інтервалі утворюють певну фігуру. Щоб обчислити її площу, необхідно проінтегрувати різність функцій. Межі загального інтервалу можна вказати спочатку або бути точками перетину двох графіків.

Інструкція

1. При побудові графіків двох вказаних функцій в області їх перетину утворюється замкнута фігура, обмежена цими кривими і двома прямими лініями х = а і x = b, де а і b - кінці розглянутого інтервалу. Цю фігуру візуально відображають штрихом. Її площу можна обчислити, проінтегрувавши різність функцій.

2. Функція, розташована вище на графіку, є більшою величиною, отже, у формулі її вираз буде стояти першим: S = ∫f1 - ∫f2, де f1 > f2 на проміжку [а, b]. Втім, взявши до уваги, що кількісна характеристика будь-якого геометричного об 'єкта є величиною додатною, можна обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій, за модулем:S = |∫f1 – ∫f2|.

певногоінтеграла3. Такий варіант тим більше зручний, якщо немає можливості або часу на побудову графіка. При обчисленні користуються правилом Ньютона-Лейбніца, яке передбачає підстановку в кінцевий результат граничних значень інтервалу. Тоді площа фігури дорівнює різниці двох значень першоподібної, знайденої на етапі інтегрування, з більшого F (b) і меншого F (a).

4. Іноді замкнута фігура на вказаному інтервалі утворюється шляхом повного перетину графіків функцій, тобто кінці інтервалу є точками, що належать обом кривим. Наприклад: знайдіть точки перетину ліній у = х/2 + 5 і у = 3 • х - х ^/4 + 3 і обчисліть площу.

5. Рішення. Щоб знайти точки перетину, складіть рівняння:х/2 + 5 = 3 • х - х ^/4 + 3. Х - 10 • х + 8 = 0D = 100 - 64 = 36, x 1,2 = (10. 6 )/2.

6. Отже, ви знайшли кінці інтервалу інтегрування [2; 8]:S = |∫ (3 • х - х /4 + 3 - х/2 - 5) dx| = | (5 • х /4 - х /12 - 2 • х) | 59.

7. Розгляньте інший приклад: у1 = ^ (4 • х + 5); у2 = х і дано рівняння прямої х = 3.В цій задачі дано тільки один кінець інтервалу х = 3. Це означає, що друге значення потрібно знайти з графіка. Побудуйте лінії, задані функціями у1 і у2. Очевидно, що значення x = 3 є верхнім обмеженням, отже, потрібно визначити нижню межу. Для цього прирівняйте вирази:(4 • х + 5) = х ^ 4 • х + 5 = х. - 4 • х - 5 = 0

8. Знайдіть коріння рівняння:D = 16 + 20 = 36 → х1 = 5; х2 = -1.Погляньте на графік, нижнім значенням інтервалу є -1. Оскільки у1 розташоване вище у2, то:S = ∫ (^ (4 • х + 5) - x) dx на проміжку [-1; 3] .S = (1/3 • ^ (((4 • х + 5) ) - х /2) = 19.