Як обчислити невизначений інтеграл

Як обчислити невизначений інтеграл


Інтегрування є значно складнішим процесом, ніж диференціювання. Не дарма часом його порівнюють з грою в шахи. Адже для його здійснення недостатньо просто запам 'ятати таблицю - необхідно підходити до вирішення завдання творчо.

Інструкція

1. Чітко засвійте, що інтегрування - процес, зворотний диференціюванню. У більшості підручників функція, що отримується в результаті інтегрування, позначається як F (x) і носить назву першоподібною. Похідна первісна рівна F '(x) = f (x). Наприклад, якщо у завданні дана функція f (x) = 2x, процес інтегрування виглядає наступним чином:∫2х=х^2+С, де C = const, за умови, що F '(x) = f (x) Процес інтегрування функції можна записати й іншим чином:∫f(x)=F(x)+C

2. Обов 'язково запам' ятайте такі властивості інтегралів:1. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів:∫[f (x) + z (x)] =∫f (x) +∫z (x) Для доведення цієї властивості візьміть похідні від лівої та правої частини інтеграла, після чого використовуйте аналогічну властивість суми похідних, пройдену вами раніше. Постійний множник виноситься за знак інтеграла:∫AF (x) =A∫F (x), де A = const.

3. Прості інтеграли обчислюються за допомогою спеціальної таблиці. Однак, найчастіше в умовах завдань зустрічаються складні інтеграли, для вирішення яких знання таблиці недостатньо. Доводиться вдаватися до використання низки додаткових методів. Перший з них полягає в інтегруванні функції шляхом її підведення під знак диференціалу:∫f (d (x) z '(x) dx=∫f (u) d (u) Під u має на увазі складну функцію, яка і перетворюється на просту.

4. Існує також більш складний метод, який зазвичай застосовується, якщо необхідно проінтегрувати складну тригонометричну функцію. Він полягає в інтегруванні по частинах. Виглядає це наступним чином:∫udv=uv-∫vduПредставьте собі, наприклад, що дано інтеграл ∫x*sinx dx. Позначте x як u, а dv - як sinxdx. Відповідно, v = -cosx, а du = 1 Підставляючи ці значення у вищезгадану формулу, отримайте такий вираз:∫x*sinxdx=-x *cosx-∫(-cosx)=sinx-x*cosx+C, где С=const.

5. Ще один метод полягає в заміні змінної. Він застосовується в тому випадку, якщо під знаком інтеграла є вирази зі ступенями або корінням. Формула заміни змінної зазвичай має такий вигляд:[∫f (x) dx]=∫f[z (t)] z '(t) dt, причому, t = z (t)



Матеріали по темі