Як обчислити наближено інтеграл

Як обчислити наближено інтеграл


Класичні моделі наближеного обчислення певного інтеграла засновані на побудові інтегральних сум. Ці суми повинні бути найбільш короткими, але забезпечують досить малу похибку обчислення. Навіщо? З тих пір, як з 'явилися серйозні ЕВМ і хороші ПК, актуальність завдання скорочення числа обчислювальних операцій дещо відійшла на другий план. Безумовно, огульно відкидати їх не слід, а от зважити між простотою алгоритму (де багато обчислювальних операцій) і складністю більш точного - явно не завадить.

Інструкція

1. Розглянемо завдання обчислення певних інтегралів методом "Монте-Карло". Застосування стало можливим після появи перших ЕВМ, тому його батьками вважаються американці Нейман і Улам (звідси і броська назва, оскільки на ті часи найкращим датчиком випадкових чисел була ігрова рулетка). Від авторського права (у назві) відійти не маю права, але зараз згадують або статистичні випробування, або статистичне моделювання.

2. Для отримання випадкових чисел, що мають заданий розподіл на інтервалі (a, b) використовуються випадкові числа z, рівномірних на (0, 1). У середовищі Pascal це відповідає підпрограмі Random. На калькуляторах на цей випадок є кнопка RND. Існують і таблиці таких випадкових чисел. Етапи моделювання найпростіших розподілів також прості (буквально до крайності). Так, порядок обчислення числової моделі випадкової на (a, b) величини, щільність ймовірності якої W (x) наступна. Визначивши функцію розподілу F (x), прирівняйте її zi. Тоді xi = F ^ (-1) (zi) (мається на увазі зворотна функція). Далі отримуйте наскільки завгодно багато (в межах можливостей вашого ПК) значень цифрової моделі xi.

3. Тепер слід безпосередній етап обчислень. Нехай вам необхідно обчислити певний інтеграл (див. рис. 1а). На малюнку 1 W (x) можна вважати довільною щільністю ймовірності випадкової величини (СВ), розподіленої на (a, b), а шуканий інтеграл - математичним очікуванням функції цієї СВ. Так що єдина вимога до вимоги до W (x) - умова нормування (рис. 1b). У математичній статистиці оцінкою математичного очікування є середнє арифметичне спостережуваних значень функції СВ (ризи.1 с). Замість спостережень наберіть їх цифрові моделі і обчислюйте певні інтеграли з практично з будь-якою бажаною точністю без всяких (інший раз важких, якщо залучити метод Чебишева) викладок.

4. Допоміжну W (x) слід брати найпростішою, але, все-таки, хоча б трохи нагадує (за графіком) інтегровану функцію. Не можливо приховати, що зниження похибки в 10 разів коштує збільшення вибірки моделі в 100 разів. Ну і що? Коли комусь було потрібно більше трьох знаків за комою? А це лише мільйон обчислювальних операцій.