Як обчислити функцію і побудувати графік

Як обчислити функцію і побудувати графік


Поняття "функція" відноситься до математичного аналізу, але має більш широке застосування. Щоб обчислити функцію і побудувати графік, потрібно дослідити її поведінку, знайти критичні точки, асимптоти і проаналізувати випуклості і увігнутості. Але, звичайно, першим кроком є пошук області визначення.

Інструкція

1. Щоб обчислити функцію та побудувати графік, потрібно виконати такі дії: знайти область визначення, проаналізувати поведінку функції на кордонах цієї області (вертикальні асимптоти), дослідити на парність, визначити проміжки випуклості і увігнутості, виявити похилі асимптоти і розрахувати проміжні значення.

2. Область визнач Спочатку передбачається, що нею є нескінченний інтервал, потім на нього накладаються обмеження. Якщо у вираженні функції з 'являються наступні підфункції, вирішіть відповідні нерівності: Їх сукупний результат і буде областю визначення:• Корінь парного ступеня від з показником у вигляді дробу з парним знаменником. Вираз, що стоїть під його знаком, може бути тільки позитивним або нулем: ^ 0; • Логарифмічний вираз вигляду > 0; • Дві тригонометричні функції тангенс і котангенс. Їхній аргумент - міра кута, яка не може бути рівною. • k + ^/2, інакше функція не має сенсу. Отже, ^ • k + ^/2; • Арксінус і арккосинус, які мають сувору область визначення -1 ^ 1; • Степенна функція, показник якої - інша функція: > 0; • Дріб, утворений між двома функціями . Очевидно, що Φ2 - 0.

3. Вертикальні асимптотиЯкщо вони є, то розташовуються на межах області визначення. Щоб з 'ясувати це, розв' яжіть односторонні межі під час x A-0 і x В + 0, де х - аргумент функції (абсцис графіка), А і В - початок і кінець інтервалу області визначення. Якщо таких інтервалів декілька, досліджуйте всі їх граничні значення.

4. Чіткість/нечіт Будь ласка, вкажіть аргумент (-х) замість x. Якщо результат не зміниться, тобто (-х) = (х), то вона чітка, якщо ж (-х) = - (х), - непарна. Це необхідно для того, щоб виявити наявність симетрії графіка відносно осі ординат (парність) або початку координат (непарність).

5. Зростання/вбивання, точки екстреміст Обчисліть похідну функції і вирішіть дві нерівності "(х) ^ 0 і " (х) ^ 0. У результаті ви отримаєте проміжки зростання або вбивання функції. Якщо в якійсь точці похідна звертається в нуль, то вона називається критичною. Можливо, вона також є точкою перегину, з 'ясуйте це в наступній дії.

6. У будь-якому випадку це точка екстремуму, в якій відбувається перелом, зміна одного стану на інший. Наприклад, якщо збувна функція стає зростаючою, то це точка мінімуму, якщо навпаки - максимуму. Зверніть увагу, що похідна може мати свою область визначення, більш сувору.

7. Випуклість/увігнуваність, точки перегибаЗнайдіть другу похідну і вирішіть аналогічні нерівності "" (х) ^ 0 і "" (х) ^ 0. Цього разу результатами будуть інтервали випуклості та увігнутості графіка. Точки, в яких друга похідна дорівнює нулю, є стаціонарними і можуть бути точками перегину. Перевірте, як веде себе функція "" до і після них. Якщо змінює знак, значить, це точка перегину. Крім того, перевірте на цю властивість критичні точки, визначені в попередній дії.

8. Похилі асимптоти - великі помічники при побудові графіка. Це прямі лінії, до яких наближається нескінченна гілка кривої функції. Вони визначаються рівнянням у = k • x + b, де коефіцієнт k дорівнює межі lim /х під час x. При k = 0 асимптоту проходить горизонтально.

9. Обчислення у проміжних точ Це допоміжна дія, щоб досягти більшої точності побудови. Задайте декілька значень з області визначення у функцію.

10. Побудова графіка Накресліть асимптоти, нанесіть екстремуми, позначте точки перегинів і проміжні точки. Схематично покажіть проміжки зростання і вбивання, випуклості і увігнутості, наприклад, знаками "+", "-" або стрілками. Проведіть лінії графіка по всіх точках, наблизьте до асимптотів, згинаючи відповідно до стрілок або знаків. Перевірте симетрію, виявлену на третьому кроці.



Матеріали по темі