Як обчислити довжину вектора

Як обчислити довжину вектора


Вектор - відрізок, у якого є не тільки довжина, але і напрямок. Вектори відіграють велику роль у математиці, але особливо у фізиці, оскільки фізика дуже часто має справу з величинами, які зручно представляти у вигляді векторів. Тому в математичних і фізичних розрахунках може виникнути необхідність обчислити довжину вектора, заданого координатами.

Інструкція

1. У будь-якій системі координат вектор визначають через дві точки - початок і кінець. Наприклад, у декартових координатах на площині вектор позначається як (x1, y1; x2, y2). У просторі, відповідно, у кожної точки буде по три координати, і вектор постане у вигляді (x1, y1, z1; x2, y2, z2). Звичайно, вектор можна визначити і для чотиримірного, і для будь-якого іншого простору. Його буде набагато важче уявити, але з точки зору математики всі обчислення, пов 'язані з ним, залишаться колишніми.

2. Довжину вектора ще називають його модулем. Якщо A - вектор, то |A| - число, рівне його модулю. Наприклад, будь-яке речове число можна уявити як одномірний вектор з початком в точці нуля. Скажімо, число -2 буде вектором (0; -2). Модуль такого вектора дорівнює квадратному кореню з квадрата координати його кінця, тобто - (-2) - 2) = 2.В загальному вигляді, якщо A = (0, x), то - |A| (x ^ 2). З цього, зокрема, випливає, що додаток вектора не залежить від його напрямку - числа 2 і -2 рівні за додатком.

3. Перейдемо до декартових координат на площині. І в цьому випадку найпростіше обчислити довжину вектора, якщо його початок збігається з початком координат. Квадратний корінь потрібно буде витягти з суми квадратів координат закінчення вектора. |0, 0; x, y| = ^ (x ^ 2 + y ^ 2). Напів, якщо у нас є вектор A = (0, 0; 3. 4), його модуль |A| = ^ (3. 2 + 4. 2) = 5.Фактично, ви обчислюєте модуль за формулою Піфагора про гіпотенузу прямокутного трикутника. Координатні відрізки, що задають вектор, відіграють роль катетів, а вектор служить гіпотенузою, квадрат якої, як відомо, дорівнює сумі їх квадратів.

4. Коли початок вектора не знаходиться в точці відліку координат, обчислення додатка стає трохи більш трудомістким. У квадрат доведеться зводити не координати кінця вектора, а різниці між координатою кінця і відповідною координатою початку. Легко помітити, що, якщо координата початку дорівнює нулю, то формула перетворюється на попередню. Ви так само користуєтеся тут теоремою Піфагора - різниці координат стають довжинами катетів. Якщо A = (x1, y1; x2, y2), то |A| = √((x2 - x1)^2 + (y2-y1)^2). Припустимо, що нам задано вектор A = (1, 2; 4, 6). Тоді його додаток дорівнює |A| = ^ (((4 - 1) ^ 2 + (6 - 2) ^ 2) = 5. Якщо ви побудуєте на координатній площині цей вектор і порівняйте його з попереднім, то легко побачите, що вони рівні між собою, що і стає очевидним при обчисленні їх довжини.

5. Ця формула універсальна, і її легко узагальнити на випадок, коли вектор розташований не на площині, а в просторі, або навіть має більше трьох координат. Його довжина як і раніше дорівнюватиме квадратному корені з суми квадратів різниць координат кінця і початку.