Як обчислити число пі

Як обчислити число пі

Грецькою літерою ^ (пі, pi) прийнято позначати відношення довжини кола до її діаметру. Це число, спочатку з 'явившись у працях стародавніх геометрів, згодом виявилося дуже важливим у дуже багатьох галузях математики. А значить, його потрібно вміти обчислювати.

1. - ірраціональне число. Це означає, що його неможливо уявити у вигляді дробу з цілим числівником і знаменником. Більше того, це трансцендентне число, тобто воно не може служити рішенням ніякого алгебраїчного рівняння. Таким чином, точне значення числа - записати неможливо. Однак є методи, що дозволяють обчислити його з будь-яким необхідним ступенем точності.

2. Найдавніші наближення, якими користувалися геометри Греції та Єгипту, свідчать, що він приблизно дорівнює квадратному кореню з 10 або дробу 256/81. Але ці формули дають значення, рівне 3,16, а цього явно недостатньо.

3. Архімед та інші математики обчислювали порожнечу за допомогою складної і трудомісткої геометричної процедури - вимірювання периметрів вписаних і описаних багатокутників. Отримане ними значення дорівнювало 3,1419.

4. Ще одна наближена формула визначає, що - 2 + ^ 3. Вона дає значення для ^, приблизно рівне 3,146.

5. З розвитком диференційного обчислення та інших нових математичних дисциплін у розпорядженні вчених з 'явився новий інструмент - степенні ряди. Готфрід Вільгельм Лейбніц у 1674 році виявив, що нескінченний рядок 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/( 2n + 1) * (-1). Обчислювати цю суму просто, однак, щоб досягти достатньої точності, знадобиться багато кроків, оскільки ряд сходиться дуже повільно.

6. Згодом були виявлені й інші степенні ряди, що дозволяють обчислювати оріг швидше, ніж за допомогою ряду Лейбніца. Наприклад, відомо, що tg (./6) = 1. 3, отже, arctg (1. 3) = ^/6.Функція арктангенса розкладається в степеневий ряд, і для заданого значення ми в результаті отримуємо:(1/3) * (1 - (1/3) * (1/3) + (1/5) * (1/3) ^ 2 - (1/7) * (1/3) ^ 3... + 1/( (2n + 1) * (-3) ^ n)...) За допомогою цієї та інших аналогічних формул число було обчислено вже з точністю до мільйонів знаків після коми

7. Для більшості практичних розрахунків цілком достатньо знати число порожніх з точністю до семи знаків після коми: 3,1415926. Його можна легко запам 'ятати за допомогою мнемонічної фрази: "Три - чотирнадцять - п 'ятнадцять - дев' яносто два і шість".

Авторство: Редакція «Gazette»