Як обчислити число Е

Як обчислити число Е


Якщо в школі учень постійно стикається з числом П і його важливістю, то студенти набагато частіше використовують деяке e, рівне 2.71. Число при цьому не береться з нізвідки - більшість викладачів чесно розраховують його прямо під час лекції, не використовуючи при цьому навіть калькулятора.

Інструкція

1. Використовуйте для розрахунку другу чудову межу. Він полягає в тому, що e = (1 + 1/n) ^ n, де n - ціле число, що зростає до нескінченності. Суть доказу зводиться до того, що праву частину чудової межі потрібно розкласти через біном Ньютона, часто використовувану в комбінаториці формулу.

2. Біном Ньютона дозволяє висловити будь-яку (a + b) n (суму двох чисел у ступені n), як ряд (n! * a (n-k) * b k )/( k! * (n-k)!). Для більшої наочності перепишіть дану формулу на папір.

3. Проведіть вказане вище перетворення для "чудової межі". Отримайте, що e = (1 + 1/n) ^ n = 1 + n/n + (n (n-1) )/( 2! * n ^ 2) + n (n-1) (n-2 )/( 3! * n3) +... + (n-1) (n-2) 2 * 1/( n! * n ^ n).

4. Цей ряд можна перетворити, винісши, для наочності, факторіал у знаменнику за дужку і шановано поділивши чисельник кожного числа на знаменник. Отримаємо ряд 1 + 1 + (1/2!) * (1-1/n) + (1/3!) * (1-1/n) * (1-2/n) +... + (1/n!) * (1-1/n) *... * (1-n-1/n). Перепишіть цей ряд на папір, щоб переконатися, що він має досить просту конструкцію. При нескінченному збільшенні числа членів (тобто збільшення n) різність у дужках буде зменшуватися, проте буде збільшуватися факторіал, що стоїть перед дужкою (1/1000!). Неважко довести, що даний ряд буде сходитися до деякої величини, рівної 2,71. Це видно і з перших членів: 1+1=2; 2+(1/2)*(1-1/1000)=2,5; 2,5+(1/3!)*(1-1/1000)*(1-2/1000)=2,66.

5. Набагато простіше розкладання за допомогою узагальнення ньютонівського бінома - формули Тейлора. Мінус даного способу в тому, що розрахунок ведеться через експоненціальну функцію e ^ x, тобто для розрахунку е математик оперує числом е.

6. Ряд Тейлора має вигляд: f (x) = f (a) + (x-a) * f "(a )/1! + (x-a) * (f ^ (n)) (a )/n!, де х - деяка точка, навколо якої ведеться розкладання, а f ^ (n) -виробна f (x) n-ого порядку.

7. Після розкладання експоненти в ряд вона прийме вигляд: e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!.

8. Похідна функції e ^ x = e ^ x, тому, якщо розкладати функцію в ряд Тейлора в околиці нуля, похідна будь-якого порядку звернеться в одиницю (підставимо 0 замість х). Отримаємо: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +... + 1/n!. За першими кількома членами можна обчислити приблизне значення e: 1+0.5+0.16+0.041= 2.701.