Як довести, що паралелограм - прямокутник

Як довести, що паралелограм - прямокутник


Прямокутник - це приватний випадок паралелограма. Будь-який прямокутник є паралелограмом, але не кожен паралелограм - прямокутник. Довести, що паралелограм є прямокутником, можна, використовуючи ознаки рівності трикутників.

Інструкція

1. Згадайте визначення паралелограма. Це чотирикутник, протилежні сторони якого рівні і паралельні. Крім того, сума кутів, прилеглих до одного боку, дорівнює 180 °. Цією ж властивістю володіє і прямокутник, тільки він повинен відповідати ще одній умові. Кути, що лежать до одного боку, у нього рівні і становлять кожен 90 °. Тобто в будь-якому випадку вам потрібно буде довести саме те, що у заданої фігури не тільки сторони паралельні і рівні, але всі кути є прямими.

2. Накресліть паралелограм ABCD. Розділіть бік АВ навпіл і поставте крапку М. З 'єднайте її з вершинами кутів С і D. Вам потрібно довести, що кути МАС і MBD рівні. Сума їх, згідно з визначенням паралелограма, становить 180 °. Для початку ж вам треба довести рівність трикутників МАС і MBD, тобто що відрізки МС і MD рівні між собою.

3. Зробіть ще одну побудову. Розділіть бік КД навпіл і поставте точку N. Розгляньте, з яких геометричних фігур складається тепер вихідний паралелограм. Він складений з двох паралелограмів AMND і MBCN. Його можна уявити і таким, що складається з трикутників DMB, МАС і MBD. Те, що AMND і MBCN є однаковими паралелепіпедами, можна довести, виходячи з властивостей паралелепіпеда. Відрізки АМ і МВ рівні, відрізки NC і ND рівні теж і являють собою половинки протилежних сторін паралелепіпеда, які за визначенням однакові. Відповідно, лінія MN буде дорівнювати сторонам AD і ВС і паралельна ім. А значить, у цих однакових паралелепіпедів діагоналі будуть рівні, тобто відрізок MD дорівнює відрізку MC.

4. Порівняйте трикутники МАС і MBD. Згадайте ознаки рівності трикутників. Їх три, і в даному випадку найзручніше доводити рівність по трьом сторонам. Сторони МА і МВ однакові, оскільки точка М знаходиться якраз на середині відрізка AB. Сторони AD і BC рівні за визначенням паралелограма. Рівність сторін MD і MC ви довели в попередньому кроці. Тобто трикутники рівні, а це означає, що рівні і всі їхні елементи, тобто кут MAD дорівнює куті МВС. Але ці кути лежать до одного боку, тобто сума їх становить 180 °. Розділивши це число навпіл, ви отримаєте розмір кожного кута - 90 °. Тобто всі кути даного паралелограма є прямими, а це означає, що він являє собою прямокутник.