У чому полягає геометричний сенс певного інтеграла

У чому полягає геометричний сенс певного інтеграла


Багато математичних поняття і особливо метод математичного аналізу здаються абсолютно абстрактними і непридатними для реального життя. Але це ніщо інше, як омана дилетанта. Не дарма математику прозвали царицею всіх наук.

Сучасний математичний аналіз неможливо собі уявити без застосування поняття інтеграла і методів інтегрального обчислення. Зокрема, певний інтеграл міцно закріпився не тільки в математиці, а й у фізиці, механіці та багатьох інших наукових дисциплінах. Саме поняття інтегрування протилежне диференціюванню і означає об 'єднання частин, наприклад, будь-якої фігури в ціле.

Історія певного інтеграла

Методи інтегрування сягають корінням давнини. Вони були відомі ще в Стародавньому Єгипті. Є факти, які свідчать про те, що єгиптянам у 1800 році до нашої ери була відома формула обсягу усіченої піраміди. Вона дозволила їм створити такі шедеври архітектури, як єгипетські піраміди.

Спочатку інтеграли розраховувалися методом вичерпування Євдокса. Вже за часів Архімеда за допомогою інтегрального обчислення вдосконаленим методом Євдоксу розраховували площі параболи і кола. Сучасне ж поняття певного інтеграла і сам метод ввів Жан Батіст Жозеф Фур 'є приблизно в 1820 році.

Поняття певного інтеграла і його геометричний сенс

Без використання математичних знаків і формул певний інтеграл можна позначити, як суму частин, що становлять геометричну фігуру, утворену кривою конкретного графіка функції. Коли мова йде про певний інтеграл функції f (x), необхідно відразу представити цю саму функцію в системі координат. Вигляд такої функції буде у вигляді кривої лінії, що простягається вздовж осі абсцис, тобто осі іксів, на певній відстані від осі ординат, тобто осі ігреків. Якщо ви підраховуєте інтеграл ∫, ви обмежуєте спочатку отриману криву по осі x. Тобто визначаєте, з якого і по який момент вісі ікс ви будете розглядати даний графік функції f (x). Візуально ви проводите вертикальні лінії, що з 'єднують криву графіка і вісь ікс у вибраних точках. Таким чином, під кривою утворюється геометрична фігура, що нагадує трапецію. Її обмежують проведені вами лінії ліворуч і праворуч, знизу вона обрамляється віссю іксів, а зверху - самою кривою графіка. Отримана фігура носить найменування криволінійної трапеції. Для того щоб підрахувати площу S такої складної фігури, використовують певний інтеграл. Саме певний інтеграл функції f (x) на вибраному відрізку осі іксів дозволяє без зусиль обчислити площу криволінійної трапеції під кривою графіка. У цьому і полягає його геометричний сенс.