Ступені чисел: історія, визначення, основні властивості

Ступені чисел: історія, визначення, основні властивості


Найпростіші математичні вирази стали відомі людям ще в глибокій давнині. Водночас постійно йшло вдосконалення як самих операцій, так і їх запису на тому чи іншому носії.


Зокрема, в Стародавньому Єгипті, чиї вчені зробили помітний внесок як у розвиток елементарної арифметики, так і в створення основ алгебри і геометрії, звернули увагу на те, що коли відбувається множення будь-якого числа на одне і те ж число багато разів, то на це витрачається величезна кількість непотрібних зусиль. Більш того, така операція вела до значних фінансових витрат: згідно з установками, що діяли тоді, на оформлення будь-яких записів, кожна дія з числом повинна була докладно описуватися. Якщо згадати, що навіть найпростіший папірус коштував досить значну суму грошей, то не варто дивуватися тим зусиллям, які єгиптяни доклали, щоб знайти вихід з цієї ситуації.

Рішення знайшов знаменитий Діофант Александрійський, який придумав спеціальний математичний знак, який став показувати, скільки разів необхідно помножити те чи інше число на саме себе. Згодом відомий французький математик Р. Декарт удосконалив написання цього виразу, запропонувавши при позначенні ступеня чисел просто приписувати її в правому верхньому кутку над основним числом.

Завершальним акордом у письмовому оформленні ступеня чисел стала діяльність відомого Н.Шюке, який ввів у науковий обіг спочатку негативну, а потім і нульову ступінь.

Що ж означає фраза «звести ступінь»? Для початку необхідно зрозуміти, що саме по собі зведення в ступінь являє собою одну з найважливіших бінарних математичних операцій, суть якої полягає в неодноразовому множенні числа на саме себе.

У загальному вигляді дана операція позначається виразом «XY». У цьому випадку «X» буде називатися підставою ступеня, а «Y» - її показником. В даному випадку «звести в ступінь» можна буде розшифрувати як «помножити» X «на само себе» Y «раз».

Ступені чисел, як і більшість інших математичних елементів, мають певні властивості:

1. При зведенні в нульовий ступінь будь-якого числа, відмінного від нуля (як позитивного, так і від'ємного) вийде одиниця.

х ^ 0 = 1

2. Ступінь чисел, де показники мають від'ємне значення, слід перетворити на вираз з додатним показником

х-а = 1/х ^ а

3. Для того щоб здійснити множення чисел зі ступенями, слід пам'ятати, що дана операція можлива тільки в тому випадку, якщо у них однакові підстави. При цьому множення чисел зі ступенями здійснюється відповідно до такого правила: підстава залишається без змін, а до показника одного додається величина показників інших ступенів.

x^y x^z = x^y+z

4. У тому випадку, коли відбувається поділ ступенів, необхідно дотримуватися того ж правила, тільки замість суми в показнику буде різність.

x^y /x^z = x^y-z

5. Ще одна найважливіша властивість ступенів пов'язана з тими ситуаціями, коли потрібно звести в ступінь сам показник ступеня. У цьому випадку необхідно перемножити обидва ці показники.

(x^y)^z = x^y.z

6. У ряді випадків є необхідність розписати ступінь твору через ступінь чисел. У цьому випадку необхідно мати на увазі, що ступінь твору обчислюється відповідно до цього правила:

(xyz)^a = x^a y^a z^a

7. Якщо виникне необхідність розписати ступінь приватного, то перше, на що слід звернути увагу, це те, що підстава знаменника не може бути дорівнює нулю. В іншому ж необхідно дотримуватися наступної формули:

(x/y)^a = x^a / y^a

Певні труднощі зустрічаються тоді, коли потрібно звести в ступінь основу, вираз якої менше нуля. Результат у цьому випадку може бути як негативним, так і позитивним. Залежатиме він від показника ступеня, а саме від того, яким числом - непарним чи парним - цей показник був.



Матеріали по темі