Нормальний закон розподілу, або Розподіл Гаусса

Нормальний закон розподілу, або Розподіл Гаусса


Серед усіх законів у теорії ймовірностей нормальний закон розподілу зустрічається найчастіше, в тому числі частіше, ніж рівномірний. Можливо, таке явище має глибоку фундаментальну природу. Адже цей вид розподілу спостерігається і тоді, коли в уявленні діапазону випадкових величин беруть участь кілька факторів, кожен з яких впливає по-своєму. Нормальний (або гаусовий) розподіл у такому випадку виходить внаслідок складання різних розподілів. Саме завдяки широкому поширенню нормальний закон розподілу і отримав свою назву.


Щоразу, коли ми говоримо про якусь середню величину, будь то місячна норма опадів, дохід на душу населення або успішність у класі, при обчисленні її значення, як правило, використовується нормальний закон розподілу. Це середнє значення називається математичним очікуванням і на графіку відповідає максимуму (зазвичай позначається як M). При правильному розподілі крива симетрична відносно максимуму, проте в реальності так буває не завжди, і це допустимо.

 Щоб описати нормальний закон розподілу випадкової величини, також необхідно знати середньоквадратичне відхилення (позначається - сигма). Воно визначає форму кривої на графіку. Чим більше порожній буде крива. З іншого боку, що менше, то точніше визначається середнє значення величини у вибірці. Тому при великих середньоквадратичних відхиленнях доводиться говорити, що середнє значення лежить у певному діапазоні чисел, а не відповідає будь-якому числу.

Як і інші закони статистики, нормальний закон розподілу ймовірностей проявляє себе тим краще, чим більше вибірка, тобто кількість об'єктів, які беруть участь у вимірах. Однак тут проявляється ще один ефект: при великій вибірці стає дуже малою ймовірність зустріти певне значення величини, в тому числі середнє. Значення лише групуються біля середнього. Тому правильніше говорити, що випадкова величина буде близька певному значенню з такою-то часткою ймовірності.

Визначити, наскільки велика ймовірність, і допомагає середньоквадратичне відхилення. В інтервал «три сигми», тобто M +/- 3 * ^, вкладається 97,3% всіх величин у вибірці, а в інтервал «п'ять сигм» - близько 99%. Ці інтервали зазвичай використовуються для того, щоб визначити, коли це потрібно, максимальне і мінімальне значення величин у вибірці. Ймовірність того, що значення величини вийде з інтервалу п'яти сигм, мізерно мала. На практиці зазвичай користуються інтервалом трьох сигм.

Нормальний закон розподілу може бути багатовимірним. При цьому приймається, що певний об'єкт володіє кількома незалежними параметрами, вираженими в одній одиниці виміру. Наприклад, відхилення кулі від центру мішені по вертикалі і по горизонталі при стрільбі буде описуватися почесним нормальним розподілом. Графік такого розподілу в ідеальному випадку схожий на фігуру обертання плоскої кривої (гауссіани), про яку йшлося вище.