Євклідовий простір: поняття, властивості, ознаки

Євклідовий простір: поняття, властивості, ознаки


Ще в школі всі учні знайомляться з поняттям «євклідова геометрія», основні положення якої сфокусовані навколо декількох аксіом, що спираються на такі геометричні елементи, як точка, площина, пряма, руху. Всі вони в сукупності формують те, що вже давно відомо під терміном «євклідовий простір».


Євклідовий простір, визначення якого базується на положенні про скалярне множення векторів, є приватним випадком лінійного (аффінного) простору, який задовольняє цілу низку вимог. По-перше, скалярний твір векторів абсолютно симетричний, тобто вектор з координатами (x; y) в кількісному плані тотожний вектору з координатами (y; x), однак протилежний за напрямом.

По-друге, в тому випадку, якщо проводиться скалярний твір вектора з самим собою, то результат цієї дії буде носити позитивний характер. Єдиним винятком стане випадок, коли початкова і кінцева координата цього вектора дорівнює нулю: в цьому випадку і твір його з самим собою той же буде дорівнювати нулю.

По-третє, має місце дистрибутивність скалярного твору, тобто можливість розкладання однієї з його координат на суму двох значень, що не спричинить за собою жодних змін у підсумковому результаті скалярного множення векторів. Нарешті, по-четверте, при множенні векторів на одне і те ж дійсне число їх скалярний твір також збільшиться в стільки ж разів.

У тому випадку, якщо виконуються всі ці чотири умови, ми можемо з упевненістю сказати, що перед нами євклідовий простір.

Євклідовий простір з практичної точки зору можна охарактеризувати наступними конкретними прикладами:

  1. Найпростіший випадок - це наявність безлічі векторів з певними за основними законами геометрії скалярним твором.
  2. Евклидово пространство получится и в том случае, если под векторами мы будем понимать некое конечное множество действительных чисел с заданной формулой, описывающей их скалярную сумму или произведение.
  3. Приватним випадком євклідового простору слід визнати так званий нульовий простір, який виходить в тому випадку, якщо скалярна довжина обох векторів дорівнює нулю.

Євклідовий простір має цілу низку специфічних властивостей. По-перше, скалярний множник можна виносити за дужки як від першого, так і від другого сомножителя скалярного твору, результат від цього не зазнає жодних змін. По-друге, поряд з дистрибутивністю першого елемента скалярного твору, діє і дистрибутивність другого елемента. Крім того, крім скалярної суми векторів, дистрибутивність має місце і в разі віднімання векторів. Нарешті, по-третє, при скалярному множенні вектора на нуль, результат також дорівнюватиме нулю.

Таким чином, євклідовий простір - це найважливіше геометричне поняття, що використовується при вирішенні завдань із взаємним розташуванням векторів один відносно одного, для характеристики якого використовується таке поняття, як скалярний твір.