Екстремуми функції - простою мовою про складну

Екстремуми функції - простою мовою про складну


Щоб зрозуміти, що таке точки екстремуму функції, зовсім необов'язково знати про наявність першої і другої похідної і розуміти їх фізичний сенс. Для початку потрібно уяснити наступне:


  • екстремуми функції максимізують або, навпаки, мінімізують значення функції в наскільки завгодно малої околиці;
  • в точці екстремуму не повинно бути розриву функції.

А тепер те ж саме, тільки простою мовою. Подивіться на кінчик стрижня кулькової ручки. Якщо ручку розташувати вертикально, пишучим кінцем вгору, то сама середина кулька буде екстремумом - найвищою точкою. У цьому випадку говорять про максимум. Тепер, якщо повернути ручку пишучим кінцем вниз, то на середці кулька вже буде мінімум функції. За допомогою малюнка, наведеного тут же, можна представити перераховані маніпуляції для канцелярського олівця. Отже, екстремуми функції - це завжди критичні точки: її максимуми або мінімуми. Прилегла ділянка графіка може бути наскільки завгодно гострою або плавною, але вона повинна існувати з обох сторін, тільки в цьому випадку точка є екстремумом. Якщо графік присутній лише з одного боку, точка ця екстремумом бути не буде навіть у тому випадку, якщо з одного її боку умови екстремуму виконуються. Тепер вивчимо екстремуми функції з наукової точки зору. Щоб точка могла вважатися екстремумом, необхідно і достатньо, щоб:

  • перша похідна дорівнювала нулю або не існувала в точці;
  • перша похідна змінювала свій знак у цій точці.

Умова трактується дещо інакше з точки зору похідних більш високого порядку: для функції, диференційованої в точці, достатньо, щоб існувала похідна непарного порядку, нерівна нулю, при тому, що всі похідні нижчого порядку повинні існувати і бути рівними нулю. Це максимально просте тлумачення теорем з підручників вищої математики. Але для самих звичайних людей варто пояснити цей момент прикладом. За основу береться звичайна парабола. Відразу обмовимося, в нульовій точці у неї є мінімум. Зовсім небагато математики:

  • перша похідна (X2) | = 2X, для нульової точки 2Kh = 0;
  • друга похідна (2Kh) | = 2, для нульової точки 2 = 2.

Таким нехитрим чином проілюстровані умови, що визначають екстремуми функції і для похідних першого порядку, і для похідних вищого порядку. Можна до цього додати, що друга похідна якраз є тією самою похідною непарного порядку, нерівною нулю, про яку говорилося трохи вище. Коли мова заходить про екстремуми функції двох змінних, то умови повинні виконуватися для обох аргументів. Коли відбувається узагальнення, то в хід йдуть приватні похідні. Тобто необхідно для наявності екстремуму в точці, щоб обидві похідні першого порядку дорівнювали нулю, або хоча б одна з них не існувала. Для достатності наявності екстремуму досліджується вираз, що являє собою різність твору похідних другого порядку і квадрата змішаної похідної другого порядку функції. Якщо цей вираз більше нуля, значить, екстремум має місце бути, а якщо присутня рівність нулю, то питання залишається відкритим, і потрібно проводити додаткові дослідження.